Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral raizx cdot(raiza-raizx)^2 d x.

Passo 1

Queremos calcular a integral I=integral raizx,(raiza-raizx)^2,dx. O conteúdo aqui é integração de funções polinomiais usando substituição e a regra de potência integral t^ndt=tfract^n+1n+1+C. Vamos usar a substituição t=raizx.

Passo 2

Fazendo a substituição t=raizx, temos
x=t^2, dx=2t,dt, raizx=t, raiza-raizx=raiza-t
Substituindo na integral original, obtemos:
I=integral t,(raiza-t)^2,2t,dt=2integral t^2(raiza-t)^2,dt

Passo 3

Agora vamos expandir o quadrado:
$$(\sqrt{a}-t){2}=a-2\sqrt{a},t+t{2}.
(raiza-t)^2=a-2raiza,t+t^2 2\int t{2}\bigl(a-2\sqrt{a},t+t{2}\bigr)dt=2\int\bigl(a,t{2}-2\sqrt{a},t{3}+t^{4}\bigr)dt.$$

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potência:
2integral a,t^2dt=2cdot a,t^33, 2integral(-2raiza,t^3)dt=2cdotl(-2raizacdott^44r), 2integral t^4dt=2cdott^55
Assim:
I=2a3t^3-raiza,t^4+25t^5+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x usando t=raizx. Como t^3=x^3/2, t^4=x^2 e t^5=x^5/2, a solução fica pronta.

Resposta

I=2a3,x^3/2-raiza,x^2+25,x^5/2+C

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