Encontrar a área da região limitada do plano xOy, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
f(x)=|sen x|, x=0, x=2 pi e y=0. (R. 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região no plano xOy que é limitada pelos gráficos das funções f(x) = |sin x|, x = 0, x = 2pi e y = 0. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente a integração, e entender como a função seno e o valor absoluto funcionam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função y = |sin x| é basicamente a função seno, mas sempre positiva porque estamos pegando o valor absoluto. Então, no intervalo de 0 a 2pi, o gráfico de |sin x| sobe e desce, mas nunca fica abaixo do eixo x.

Passo 3

Como a função |sin x| é simétrica em relação ao eixo y, podemos simplificar nosso cálculo. Em vez de calcular a área de 0 a 2pi, podemos calcular de 0 a pi e depois multiplicar por 2. Isso facilita um pouco o trabalho!

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que representa a área que queremos encontrar. A integral definida de 0 a 2pi de |sin x| em relação a x nos dará essa área. Assim:
Área = integral0^2pi |sin x| , dx Á

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos considerar onde a função |sin x| é igual a sin x e onde é igual a -sin x. No intervalo de 0 a pi, sin x é positivo, então |sin x| = sin x. Já de pi a 2pi, sin x é negativo, então |sin x| = -sin x. Portanto, podemos dividir a integral:
Área = integral0^pi sin x , dx + integralpi^2pi (-sin x) , dx Á

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. A integral de sin x é -cos x, e a de -sin x é cos x.
Para 0 a pi:
integral0^pi sin x , dx = [-cos x]0^pi = [-cos pi] - [-cos 0] = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
Para pi a 2pi:
integralpi^2pi (-sin x) , dx = [cos x]pi^2pi = cos (2pi) - cos pi = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas que calculamos:
Área total = 2 + 2 = 4 Á

Resposta

A área da região delimitada é igual a 4 unidades de área.

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