Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
e
. (R. 4)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a área da região no plano
que é limitada pelos gráficos das funções
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente a integração, e entender como a função seno e o valor absoluto funcionam juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função
é basicamente a função seno, mas sempre positiva porque estamos pegando o valor absoluto. Então, no intervalo de
a
, o gráfico de
sobe e desce, mas nunca fica abaixo do eixo
.
Passo 3
Como a função
é simétrica em relação ao eixo
, podemos simplificar nosso cálculo. Em vez de calcular a área de
a
, podemos calcular de
a
e depois multiplicar por
. Isso facilita um pouco o trabalho!
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa a área que queremos encontrar. A integral definida de
a
de
em relação a
nos dará essa área. Assim:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos considerar onde a função
é igual a
e onde é igual a
. No intervalo de
a
,
é positivo, então
. Já de
a
,
é negativo, então
. Portanto, podemos dividir a integral:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. A integral de
é
, e a de
é
.
Para
a
:
Para
a
:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas que calculamos:
Resposta
A área da região delimitada é igual a
unidades de área.