Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral x^2raiz[4]x^3+2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I = integral x^2raiz[4]x^3 + 2,dx. Isso é um caso clássico de substituição, pois vemos x^2 e x^3+2 sob potência. Vamos usar a técnica de mudança de variável junto com a regra da potência para integrar.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição u = x^3 + 2. Então, derivando, temos
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3,

Passo 3

substituindo na integral original obtemos
I = integral x^2(x^3+2)^1/4,dx = integral 1u^1/4 cdot du3 = 13 integral u^-1/4,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para integrais: se m neq -1, então integral u^m,du = u^m+1m+1 + C. Aqui m = -1/4, logo m+1 = 3/4. Assim,
integral u^-1/4,du = u^3/43/4 + C = 43u^3/4 + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u = x^3 + 2. Portanto, juntando o fator 1/3 que ficou fora,
I = 13 cdot 43 (x^3 + 2)^3/4 + C = 49(x^3 + 2)^3/4 + C

Resposta

I = 49(x^3 + 2)^3/4 + C

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