Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral x^3 cdot raiz1-x^2 d x.

Passo 1

Nesta questão vamos calcular a integral I = integral x^3raiz1 - x^2,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição simples, onde escolhemos uma nova variável que simplifique a raiz.

Passo 2

Definimos a substituição u = 1 - x^2. Então derivando ambos os lados, temos du = -2x,dx, de onde obtém-se x,dx = -tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo x^3 como x^2cdot x e lembrando que x^2 = 1 - u e raiz1 - x^2 = raizu, a integral fica
I = integral x^3raiz1 - x^2,dx = integral (1 - u)raizu;l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral (1 - u)u^1/2,du

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo. Primeiro escrevemos
-tfrac12integral (1cdot u^1/2 - ucdot u^1/2),du = -tfrac12l(integral u^1/2,du - integral u^3/2,dur)
Agora calculamos cada integral:
integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2, integral u^3/2,du = tfrac25u^5/2
Substituindo de volta,
I = -tfrac12l(tfrac23u^3/2 - tfrac25u^5/2r) + C = -tfrac13u^3/2 + tfrac15u^5/2 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, com u = 1 - x^2, concluímos que
I = -tfrac13(1 - x^2)^3/2 + tfrac15(1 - x^2)^5/2 + C

Resposta

-\tfrac{1}{3}(1 - x{2}){3/2} + \tfrac{1}{5}(1 - x{2}){5/2} + C

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