Uma peça metálica foi retirada do forno após um tratamento térmico e se encontra a temperatura de 100^circ C. Foi colocada em temperatura ambiente de 25^circ C. Após 5 minutos, a temperatura da peça caiu para 90^circ C. Depois de quanto tempo a peça estará a 50^circ C ?

Passo 1

O enunciado diz que uma peça metálica sai do forno a 100 °C e é colocada em ambiente a 25 °C. Após 5 min, a peça está a 90 °C. Queremos saber quando ela chegará a 50 °C. O conteúdo é a lei de resfriamento de Newton, cuja fórmula relaciona temperatura e tempo usando uma constante de resfriamento k.

Passo 2

A lei de resfriamento de Newton é dada por:
T(t)=Ts+(T0-Ts)e^-k t
em que T_{s}=25 °C, T_{0}=100 °C e T(5)=90 °C.

Passo 3

Substituindo t=5 e T(5)=90 na fórmula, temos:
90=25+(100-25)e^-5k
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90=25+75e^-5k
65=75e^-5k
e^-5k=6575=1315
Tomando ln em ambos os lados:
-5k=lnl(1315r)Longrightarrow k=-15lnl(1315r)=15lnl(1513r).

Passo 4

Agora queremos t tal que T(t)=50. Substituindo na fórmula:
50=25+75e^-k t
25=75e^-k t
e^-k t=13
Tomando ln:
-k t=lnl(13r)=-ln3Longrightarrow t=ln3k
Substituindo k:
t=ln3(1/5)ln(15/13)=5ln3ln(15/13)

Passo 5

Agora basta calcular numericamente:
tapprox5times1,09860,1431approx38,4 minutos

Resposta

A peça chegará a 50 °C aproximadamente em 38,4 minutos.

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