Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral x^n-1 cdot raiza+b x^n d x.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que calcular a integral I = integral x^n-1 cdot raiza + b x^n , dx. Vamos usar técnicas de integração por substituição, que é uma mão na roda para simplificar integrais complicadas. Precisamos encontrar uma forma de transformar essa integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a parte complicada da integral. Olhando para a expressão dentro da raiz, parece uma boa ideia deixar u = a + b x^n. Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = b n x^n-1 Rightarrow du = b n x^n-1 dx
Isso quer dizer que:
x^n-1 dx = dub n

Passo 4

Vamos substituir u e x^n-1 dx na integral original:
I = integral x^n-1 cdot raiza + b x^n , dx = integral raizu cdot dub n = 1b n integral u^1/2 du

Passo 5

Agora, é hora de integrar u^1/2. A regra de integração que usamos aqui é:
integral u^k du = u^k+1k+1 + C
Com k = 12, temos:
integral u^1/2 du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C
Então, substituindo de volta:
I = 1b n cdot 23 u^3/2 + C = 23 b n u^3/2 + C

Passo 6

Por fim, vamos substituir u = a + b x^n de volta na expressão:
I = 23 b n (a + b x^n)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac23 b n cdot (a + b x^n)^3/2 + C.

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