Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral raiz1+cos x1-cos x d x

Passo 1

Resumo da questão: Temos que calcular a integral envolvendo funções trigonométricas
I=integral raiz1+cos x1-cos x,dx
O conteúdo é uso de identidades trigonométricas de ângulo metade para simplificar a raiz.

Passo 2

Usar identidades de ângulo metade:
Sabemos que
1+cos x=2cos^2x2, 1-cos x=2sin^2x2
Substituindo na raiz:
raiz1+cos x1-cos x=raiz2cos^2x22sin^2x2=l|cottfracx2r|

Passo 3

Escolher um intervalo onde o integrando seja mais simples (por exemplo, para 0 temos sintfracx2>0 e então l|cottfracx2r|=cottfracx2).
Fazendo a substituição u=tfracx2 implica dx=2,du, a integral vira
I=integral cotl(ur)cdot 2,du=2integralcot u,du

Passo 4

Integrar cot u:
Sabemos que
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integralcot u,du=lnl|sin ur|+C

Resposta

2\ln\bigl|\sin\tfrac{x}{2}\bigr| + C

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