Seja f a função valor absoluto
f(x)= x & para x >= 0 -x & para x<0
Mostre que
f^prime(x)= 1 & para x>0 -1 & para x<0
e explique por que a função f não é derivável no ponto x=0.

Passo 1

Temos a função valor absoluto definida por
f(x)= x & para x>= 0, -x & para x<0
O conteúdo aqui é derivada de função por partes e uso de definição de derivada (quociente de diferenças).

Passo 2

Para x>0 a definição da função é f(x)=x. Como sabemos derivar a função identidade, temos
f'(x)=ddx(x)=1
para todo x>0.

Passo 3

Para x<0 a definição da função é f(x)=-x. Derivando essa função, obtemos
f'(x)=ddx(-x)=-1
para todo x<0.

Passo 4

Para estudar a derivabilidade em x=0, usamos a definição pela diferença de quocientes e comparamos os limites laterais:
f'(0^+)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h=limhto0^+h-0h=1,
f'(0^-)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h=limhto0^--h-0h=-1
Como f'(0^+)neq f'(0^-), a derivada em x=0 não existe, ou seja, f não é derivável em 0.

Resposta

A derivada de f(x)=|x| é
f'(x)= 1 & se x>0, -1 & se x<0,
e f não é derivável em x=0 pois os limites laterais do quociente de diferenças são diferentes (1 e -1).

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