Seja f a função valor absoluto
Mostre que
e explique por que a função f não é derivável no ponto
.
Passo 1
Temos a função valor absoluto definida por
O conteúdo aqui é derivada de função por partes e uso de definição de derivada (quociente de diferenças).
Passo 2
Para
a definição da função é
. Como sabemos derivar a função identidade, temos
para todo
.
Passo 3
Para
a definição da função é
. Derivando essa função, obtemos
para todo
.
Passo 4
Para estudar a derivabilidade em
, usamos a definição pela diferença de quocientes e comparamos os limites laterais:
Como
a derivada em
não existe, ou seja,
não é derivável em
.
Resposta
A derivada de
é
e
não é derivável em
pois os limites laterais do quociente de diferenças são diferentes (1 e -1).