Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral cos ^6 2 xsen^8 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular I = integral cos^6(2x)sin^8(2x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar substituição trigonométrica e manipular potências de seno e cosseno.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = sin(2x). Então temos du = 2cos(2x),dx, ou seja, cos(2x),dx = tfrac12,du.
Reescrevemos cos^6(2x),dx como cos^5(2x)cdotcos(2x),dx. Note que cos^2(2x)=1-sin^2(2x)=1-u^2, logo
cos^6(2x),dx = l(cos^2(2x)r)^2,cos^2(2x),dx = (1-u^2)^2cdotcos(2x),dx

Passo 3

Substituindo em I:
I = integral cos^6(2x)sin^8(2x),dx = integral (1-u^2)^2u^8cdot12,du = 12integral l(u^-8-2u^-6+u^-4r),du

Passo 4

Integramos termo a termo sabendo que integral u^n,du = u^n+1/(n+1):
12l(u^-7-7 -2u^-5-5 + u^-3-3r) + C = -114u^-7+15u^-5-16u^-3+C

Passo 5

Voltando a u=sin(2x), usamos u^-k=1/sin^k(2x).

Resposta

-tfrac114,sin^7(2x)+tfrac15,sin^5(2x)-tfrac16,sin^3(2x)+C

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