Calcule as integrais elementares abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo envolve divisão polinomial para simplificar o integrando e depois aplicar integrais elementares (potência e logaritmo).
Passo 2
Vamos usar a divisão de polinômios para escrever
como soma de um polinômio e uma fração com denominador
.
Executando a divisão polinomial obtemos:
Executando a divisão polinomial obtemos:
Com isso a integral se separa em termos mais simples:
$$
I=\int\bigl(x^{2}+x+\frac{2}{x-1}\bigr)dx
=\int x^{2}dx+\int x,dx+2\int\frac{1}{x-1}dx.
=\int x^{2}dx+\int x,dx+2\int\frac{1}{x-1}dx.
$$
Passo 3
Agora basta aplicar as fórmulas básicas:
,
e
.