Calcule as integrais elementares abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral elementar
. Vamos usar técnicas de substituição e de divisão de polinômios para simplificar o integrando.
Passo 2
Fazemos a substituição
, o que implica
e
. Assim a integral fica em termos de
.
Passo 3
Substituindo na integral temos:
Passo 4
Para integrar
, fazemos divisão de polinômios:
$$\frac{2t^2}{1+t}=2\bigl(t-1+\frac{1}{1+t}\bigr)=2t-2+\frac{2}{1+t}.
Integrando termo a termo:
Passo 5
Voltando à variável
com
, obtemos
Resposta
x - 2\sqrt{x} + 2\ln\bigl(1+\sqrt{x}\bigr) + C