Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral raizx1+raizx d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral elementar I=integral raizx1+raizx,dx. Vamos usar técnicas de substituição e de divisão de polinômios para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição t=raizx, o que implica x=t^2 e dx=2t,dt. Assim a integral fica em termos de t.

Passo 3

Substituindo na integral temos:
I=integral t1+tcdot 2t,dt =integral 2t^21+t,dt

Passo 4

Para integrar 2t^21+t, fazemos divisão de polinômios:
$$\frac{2t^2}{1+t}=2\bigl(t-1+\frac{1}{1+t}\bigr)=2t-2+\frac{2}{1+t}.
2t^21+t=2l(t-1+11+tr)=2t-2+21+t ãI=\int(2t-2),dt + \int \frac{2}{1+t},dt.$$
Integrando termo a termo:
I=integral(2t-2),dt + integral 21+t,dt
integral 2t,dt = t^2,
integral (-2),dt = -2t,

Passo 5

Voltando à variável x com t=raizx, obtemos
I = t^2 - 2t + 2ln|1+t| + C = x - 2raizx + 2lnl(1+raizxr) + C

Resposta

x - 2\sqrt{x} + 2\ln\bigl(1+\sqrt{x}\bigr) + C

Exercícios relacionados