Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado. Use um recurso computacional para esboçar no mesmo sistema de eixos o gráfico da função e a reta tangente correspondente.
f(x)=x^3-1 ; x=2

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada de f(x)=x^3-1 e determinar a inclinação da reta tangente à curva dessa função no ponto de abscissa x=2. Além disso, esboçar nos mesmos eixos o gráfico da função e da reta tangente usando um recurso computacional.

Passo 2

Para encontrar a derivada, aplicamos a regra de potência: se f(x)=x^n então f'(x)=n,x^n-1. No caso, f(x)=x^3-1 e, diferenciado termo a termo, temos f'(x)=3x^2.

Passo 3

Avaliamos a derivada no ponto x=2: f'(2)=3cdot2^2=3cdot4=12. Portanto, a inclinação da reta tangente em x=2 é 12.

Passo 4

Calculamos o valor da função em x=2: f(2)=2^3-1=8-1=7. Em seguida, escrevemos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y-7 = 12(x-2)
Ao simplificar, obtemos a forma explícita da reta tangente:
y = 12x - 17

Passo 5

Usando um recurso computacional (por exemplo, Python com matplotlib), esboçamos nos mesmos eixos a curva y=x^3-1 e a reta y=12x-17. Observa-se que a reta toca a curva em (2,7) com inclinação 12.

Resposta

A derivada é f'(x)=3x^2, a inclinação em x=2 é 12, e a equação da reta tangente é y=12x-17.

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