Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado. Use um recurso computacional para esboçar no mesmo sistema de eixos o gráfico da função e a reta tangente correspondente.
Passo 1
Enunciado: calcular a derivada de
e determinar a inclinação da reta tangente à curva dessa função no ponto de abscissa
. Além disso, esboçar nos mesmos eixos o gráfico da função e da reta tangente usando um recurso computacional.
Passo 2
Para encontrar a derivada, aplicamos a regra de potência: se
então
. No caso,
e, diferenciado termo a termo, temos
.
Passo 3
Avaliamos a derivada no ponto
:
. Portanto, a inclinação da reta tangente em
é 12.
Passo 4
Calculamos o valor da função em
:
. Em seguida, escrevemos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Ao simplificar, obtemos a forma explícita da reta tangente:
Passo 5
Usando um recurso computacional (por exemplo, Python com matplotlib), esboçamos nos mesmos eixos a curva
e a reta
. Observa-se que a reta toca a curva em
com inclinação 12.
Resposta
A derivada é
, a inclinação em
é 12, e a equação da reta tangente é
.