Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral 2 x+116+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral elementar I = integral 2x+116+x^2,dx. O conteúdo é integração de frações racionais simples, e vamos precisar usar duas fórmulas básicas: a substituição que leva a integral du/u e a integral do tipo integral dx/(x^2+a^2).

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes, dividindo o numerador:
2x+116+x^2 = 2x16+x^2 + 116+x^2

Passo 3

Para a primeira parte integral 2x16+x^2,dx, fazemos a substituição
u = x^2 + 16 implies du = 2x,dx
Isso transforma
integral 2x16+x^2,dx = integral duu = ln|u| + C1 = ln(x^2+16) + C1

Passo 4

Para a segunda parte integral 116+x^2,dx, usamos a fórmula
integral dxx^2+a^2 = 1aarctanl(xar) + C
Aqui a^2=16, ou seja a=4. Logo,
integral dx16+x^2 = 14arctanl(x4r) + C2

Passo 5

Somando as duas partes e juntando as constantes em uma só, obtemos
I = ln(x^2+16) + 14arctanl(x4r) + C

Resposta

I = ln(x^2+16) + tfrac14arctanl(tfracx4r) + C.

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