Resolva os seguintes problemas de valor inicial. (Note que tratam-se de Equações de Bernoulli.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
com condição inicial
. Vamos usar o método de transformar em equação linear via a substituição
, aqui com
, e depois aplicar condição inicial.
Passo 2
A equação geral de Bernoulli é
. Identificamos
P(x)=x^2,
Q(x)=x^{-2},
n=4.
Q(x)=x^{-2},
n=4.
Fazemos a substituição
Como
, podemos reescrever a equação original em termos de
.
Passo 3
Substituindo
em
e usando
e
(mas o passo padrão já leva direto ao resultado), obtemos a equação linear
Esta é uma EDO linear de 1ª ordem no formato
.
Passo 4
Vamos achar o fator integrante (FI):
Multiplicando a equação por
temos
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Não existe primitiva elementar para
, então deixamos em forma de integral ou em termos de integral definida a partir de
(para usar a condição inicial):
Passo 6
Usamos
para achar
e
. Assim,
Logo
Passo 7
Voltando à variável
, lembrando que
, temos
$$y{-3}=e{x3}\Bigl(-3\int_{-1}{x}t{-2}e{-t^3}dt - \frac{e}{8}\Bigr).
$$
Portanto
$$y(x)=\left[e{x3}\Bigl(-3\int_{-1}{x}t{-2}e{-t3}dt - \frac{e}{8}\Bigr)\right]^{-1/3}.
$$