Resolva os seguintes problemas de valor inicial. (Note que tratam-se de Equações de Bernoulli.)
ld yd x+x^2 y=1x^2 y^4 y(-1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli y'+x^2y=1x^2y^4 com condição inicial y(-1)=-2. Vamos usar o método de transformar em equação linear via a substituição v=y^1-n, aqui com n=4, e depois aplicar condição inicial.

Passo 2

A equação geral de Bernoulli é y'+P(x)y=Q(x)y^n. Identificamos
P(x)=x^2,
Q(x)=x^{-2},
n=4.
Fazemos a substituição
v=y^1-n=y^-3
Como dvdx=(1-n)y^-ny'=-3y^-4y', podemos reescrever a equação original em termos de v.

Passo 3

Substituindo y' em v e usando y^-3=v e y^-4=y^-3cdot y^-1=v,y^-1 (mas o passo padrão já leva direto ao resultado), obtemos a equação linear
dvdx-3x^2 v=-3x^-2
Esta é uma EDO linear de 1ª ordem no formato v'+p(x)v=g(x).

Passo 4

Vamos achar o fator integrante (FI):
FI=expl(integral -3x^2,dxr)=exp(-x^3)
Multiplicando a equação por e^-x^3 temos
ddxl(v,e^-x^3r)=-3x^-2e^-x^3

Passo 5

Integramos ambos os lados:
v,e^-x^3=integral -3x^-2e^-x^3,dx + C
Não existe primitiva elementar para integral x^-2e^-x^3dx, então deixamos em forma de integral ou em termos de integral definida a partir de x=-1 (para usar a condição inicial):
v,e^-x^3=-3integral-1^xt^-2e^-t^3dt + v(-1)e^-(-1)^3

Passo 6

Usamos y(-1)=-2 para achar v(-1)=(-2)^-3=-tfrac18 e e^-(-1)^3=e^1=e. Assim,
v(-1)e^-(-1)^3=-tfrac18,e
Logo
v,e^-x^3=-3integral-1^xt^-2e^-t^3dt - e8

Passo 7

Voltando à variável y, lembrando que v=y^-3, temos
$$y{-3}=e{x3}\Bigl(-3\int_{-1}{x}t{-2}e{-t^3}dt - \frac{e}{8}\Bigr).
$$
Portanto
$$y(x)=\left[e{x3}\Bigl(-3\int_{-1}{x}t{-2}e{-t3}dt - \frac{e}{8}\Bigr)\right]^{-1/3}.
$$

Resposta

y(x)=[e^x^3l(-3integral-1^xt^-2e^-t^3dt - e8r)]^-1/3

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