Defina \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\left\langle-2, \frac{1}{3}\right\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-5,12\rangle

Passo 1

O enunciado pede para calcular (definir) o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
Dados fornecidos:
\mathbf{a}=\left\langle -2,\; \tfrac{1}{3}\right\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle -5,\; 12\rangle.

Passo 2

Vamos escrever a definição que vamos usar (a fórmula). Para dois vetores em duas coordenadas
\mathbf{a}=\langle a_1, a_2\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle b_1, b_2\rangle,
o produto escalar é dado por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Explicando: a_1 e a_2 são as componentes (coeficientes) do vetor \mathbf{a} na primeira e segunda coordenadas; b_1 e b_2 são as componentes de \mathbf{b}. Multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.

Passo 3

Identifico as componentes dos vetores dados comparando com a notação da fórmula:
a_1 = -2,\quad a_2 = \tfrac{1}{3},\qquad b_1 = -5,\quad b_2 = 12.

Passo 4

Calculo o produto das primeiras componentes:
a_1 b_1 = (-2)\cdot(-5).
Multiplicando dois números negativos o resultado é positivo, e 2\cdot5=10. Logo
a_1 b_1 = 10.

Passo 5

Calculo o produto das segundas componentes:
a_2 b_2 = \tfrac{1}{3}\cdot 12.
Aqui você pode pensar: dividir 12 por 3 dá 4, então
a_2 b_2 = 4.

Passo 6

Agora somo os dois produtos conforme a definição:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 = 10 + 4 = 14.

Passo 7

Interpretação rápida (útil na prova): o resultado 14 é um número escalar. Alternativamente, se você souber a relação com ângulos, vale lembrar que
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; mas aqui calculamos diretamente pelas componentes, que é o caminho mais direto em provas sem figura.

Resposta

14

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