3.9 Um engenheiro metalúrgico decide guardar dinheiro para a educaçāo universitária de sua filha recém-nascida. Ele calcula que as necessidades financeiras dela serão de
20.000
17,18,19
8 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Necessidades futuras: serão feitas retiradas de
quando a filha completar e anos de idade. Ou seja, pagamentos de nos instantes (anos a partir de agora). - Depósitos uniformes (mesmo valor em cada depósito) começarão daqui a
anos e continuarão até o ano . Ou seja, depósitos nos instantes . - Taxa de juros:
ao ano, isto é, . - Pergunta: qual deve ser o valor de cada depósito uniforme (vou chamar esse valor de
) para que, acumulando juros a , a conta permita os quatro saques de nas idades indicadas?
Informações relevantes extras que já podemos identificar (sem resolver ainda):
- O número de depósitos é
depósitos (um em cada ano de a inclusive). - Os saques começam em
, ou seja, imediatamente após o término da série de depósitos (o último depósito é em e o primeiro saque em ).
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem cálculos ainda):
- É prático calcular quanto dinheiro preciso ter na conta exatamente em
(logo depois do último depósito). Vou chamar esse montante necessário de (valor necessário em ). - Esse
deve ser tal que, com juros , permita pagar em , , e . - Depois, calculo quanto uma série de depósitos uniformes
feitos em acumula até . Esse acúmulo (função de ) deve ser igual a . Daí resolvo para .
Antes de calcular, explico as fórmulas que usarei (com intuição):
- Para descontar um pagamento único de
que ocorre anos à frente ao tempo atual, usamos o fator . Aqui é a taxa por período (aqui ). - Para uma série de pagamentos iguais
efetuados uma vez por ano durante anos (pagamentos nos instantes ), o valor acumulado no instante (ou o valor futuro) é dado por
Esta fórmula vem da soma de uma progressão geométrica: cada pagamento cresce com juros até
e a soma resulta na expressão acima. As variáveis aqui são:
-
: valor do pagamento anual (o que queremos achar), -
: taxa de juros por período, -
: número de pagamentos. - Para o valor presente imediato (um período antes do primeiro pagamento) de uma anuidade de
pagamentos de valor , a fórmula é
Isto dá quanto é preciso ter no instante imediatamente antes do primeiro pagamento para honrar os
pagamentos
.
Agora vamos aplicar exatamente essas fórmulas ao problema.
Passo 3
Calcular o montante necessário em
para pagar os quatro saques de
em
.
- Como explicado, é uma anuidade de
pagamentos iguais iniciando um período após . O valor presente dessa anuidade no instante é
Agora calculamos passo a passo os termos numéricos:
- Primeiro calculemos
:
- O inverso
(mantendo casas suficientes para os cálculos). - Logo
- Dividindo por
:
- Portanto
Interpretação: preciso ter aproximadamente
na conta em
para garantir os quatro saques de
.
Passo 4
Calcular quanto a série de depósitos
(feitos em
até
, total de
depósitos) acumula em
.
- Temos depósitos iguais
em . Cada depósito feito em cresce até por um fator . Somando, o valor acumulado em é a soma geométrica
- Simplificando com
,
Agora cálculo numérico de
e do fator:
- Calculando sucessivamente (ou usando calculadora mental passo a passo):
- Então
- Assim
Passo 5
Igualar o valor acumulado pelos depósitos ao montante necessário
e resolver para
.
- Condição de financiamento:
- Logo
Interpretação: cada depósito anual, feito em
, deve ser aproximadamente
.