3.9 Um engenheiro metalúrgico decide guardar dinheiro para a educaçāo universitária de sua filha recém-nascida. Ele calcula que as necessidades financeiras dela serão de \ 20.000 , quando completar17,18,19 e 20 anos de idade. Se ele planeja começar a fazer depósitos uniformes daqui a 3 anos, e continuar fazendo-os até o ano 16 , qual seria o valor de cada depósito, considerando que a conta rende juros a uma taxa deçóéó8 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Necessidades futuras: serão feitas retiradas de \$20.000 quando a filha completar 17, 18, 19 e 20 anos de idade. Ou seja, pagamentos de \$20.000 nos instantes t=17,\,18,\,19,\,20 (anos a partir de agora).
  • Depósitos uniformes (mesmo valor em cada depósito) começarão daqui a 3 anos e continuarão até o ano 16. Ou seja, depósitos nos instantes t=3,\,4,\dots,16.
  • Taxa de juros: 8\% ao ano, isto é, i=0,08.
  • Pergunta: qual deve ser o valor de cada depósito uniforme (vou chamar esse valor de R) para que, acumulando juros a 8\%, a conta permita os quatro saques de \$20.000 nas idades indicadas?
Informações relevantes extras que já podemos identificar (sem resolver ainda):
  • O número de depósitos é 16-3+1=14 depósitos (um em cada ano de 3 a 16 inclusive).
  • Os saques começam em t=17, ou seja, imediatamente após o término da série de depósitos (o último depósito é em t=16 e o primeiro saque em t=17).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem cálculos ainda):
  • É prático calcular quanto dinheiro preciso ter na conta exatamente em t=16 (logo depois do último depósito). Vou chamar esse montante necessário de PV_{16} (valor necessário em t=16).
  • Esse PV_{16} deve ser tal que, com juros 8\%, permita pagar \$20.000 em t=17, t=18, t=19 e t=20.
  • Depois, calculo quanto uma série de depósitos uniformes R feitos em t=3,\dots,16 acumula até t=16. Esse acúmulo (função de R) deve ser igual a PV_{16}. Daí resolvo para R.
Antes de calcular, explico as fórmulas que usarei (com intuição):
  • Para descontar um pagamento único de A que ocorre k anos à frente ao tempo atual, usamos o fator (1+i)^{-k}. Aqui i é a taxa por período (aqui i=0,08).
  • Para uma série de pagamentos iguais R efetuados uma vez por ano durante n anos (pagamentos nos instantes 1,2,\dots,n), o valor acumulado no instante n (ou o valor futuro) é dado por
\text{FV}_n = R\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}.
Esta fórmula vem da soma de uma progressão geométrica: cada pagamento cresce com juros até n e a soma resulta na expressão acima. As variáveis aqui são:
  • R: valor do pagamento anual (o que queremos achar),
  • i: taxa de juros por período,
  • n: número de pagamentos.
  • Para o valor presente imediato (um período antes do primeiro pagamento) de uma anuidade de n pagamentos de valor A, a fórmula é
\text{PV} = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Isto dá quanto é preciso ter no instante imediatamente antes do primeiro pagamento para honrar os n pagamentos A.
Agora vamos aplicar exatamente essas fórmulas ao problema.

Passo 3

Calcular o montante necessário em t=16 para pagar os quatro saques de \$20.000 em t=17,18,19,20.
  • Como explicado, é uma anuidade de n=4 pagamentos iguais A= \$20.000 iniciando um período após t=16. O valor presente dessa anuidade no instante t=16 é
PV_{16} = 20.000\cdot\frac{1-(1+0,08)^{-4}}{0,08}.
Agora calculamos passo a passo os termos numéricos:
  • Primeiro calculemos (1+0,08)^1,\dots,(1+0,08)^4:
(1,08)^1=1,08,\quad (1,08)^2=1,1664,\quad (1,08)^3=1,259712,\quad (1,08)^4=1,36048896.
  • O inverso (1+0,08)^{-4} = 1/(1,08)^4 \approx 0,735029 (mantendo casas suficientes para os cálculos).
  • Logo
1-(1+0,08)^{-4} \approx 1 - 0,735029 = 0,264971.
  • Dividindo por 0,08:
\frac{1-(1+0,08)^{-4}}{0,08} \approx \frac{0,264971}{0,08} \approx 3,3121299.
  • Portanto
PV_{16} \approx 20.000 \times 3,3121299 \approx 66.242{,}60.
Interpretação: preciso ter aproximadamente \$66.242{,}60 na conta em t=16 para garantir os quatro saques de \$20.000.

Passo 4

Calcular quanto a série de depósitos R (feitos em t=3 até t=16, total de 14 depósitos) acumula em t=16.
  • Temos depósitos iguais R em t=3,4,\dots,16. Cada depósito feito em t=k cresce até t=16 por um fator (1+0,08)^{16-k}. Somando, o valor acumulado em t=16 é a soma geométrica
FV_{16} = R\sum_{j=0}^{13}(1,08)^j = R\cdot\frac{(1,08)^{14}-1}{1,08-1}.
  • Simplificando com i=0,08,
FV_{16}=R\cdot\frac{(1,08)^{14}-1}{0,08}.
Agora cálculo numérico de (1,08)^{14} e do fator:
  • Calculando sucessivamente (ou usando calculadora mental passo a passo):
(1,08)^{7}\approx 1,7138247008,\quad (1,08)^{14}\approx (1,08^{7})^2 \approx 2,9388976071.
  • Então
\frac{(1,08)^{14}-1}{0,08} \approx \frac{2,9388976071-1}{0,08}=\frac{1,9388976071}{0,08}\approx 24,2362200883.
  • Assim
FV_{16} \approx R \times 24,2362200883.

Passo 5

Igualar o valor acumulado pelos depósitos ao montante necessário PV_{16} e resolver para R.
  • Condição de financiamento:
R\cdot 24{,}2362200883 = PV_{16}\approx 66.242{,}60.
  • Logo
R \approx \frac{66.242{,}60}{24{,}2362200883} \approx 2.733{,}21.
Interpretação: cada depósito anual, feito em t=3,4,\dots,16, deve ser aproximadamente \$2.733{,}21.

Resposta

\$2.733{,}21

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