Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
10. \int_{0}^{2} \int_{r-2}{\sqrt{4-r{2}}} \int_{0}^{2 \pi}(r \operatorname{sen} \theta+1) r d \theta d z d r

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral0^2integralr-2^raiz4-r^2integral0^2pi(rsintheta+1),r,dtheta,dz,dr
Para resolver, vamos usar o Teorema de Fubini: integrar primeiro em theta, depois em z e, por fim, em r.

Passo 2

Integramos em theta:
integral0^2pi(rsintheta+1),r,dtheta = rl(r!integral0^2pisintheta,dtheta + integral0^2pi1,dthetar) = rl(rcdot0 + 2pir) = 2pi r

Passo 3

Agora integramos em z, com z variando de r-2 até raiz4-r^2:
integralr-2^raiz4-r^22pi r,dz = 2pi rl(raiz4-r^2 - (r-2)r)

Passo 4

Fica então
integral0^22pi rl(raiz4-r^2 - r + 2r),dr =2piintegral0^2l(rraiz4-r^2 - r^2 + 2rr),dr

Passo 5

Separamos em três integrais
I1=integral0^2rraiz4-r^2,dr, I2=integral0^2r^2,dr, I3=integral0^22r,dr
Para I1 fazemos u=4-r^2, du=-2r,dr, obtendo
I1=12integral4^0u^1/2(-du) =12integral0^4u^1/2du =12cdot23u^3/2|0^4 =83
Além disso ;I2=l[r^3/3r]0^2=8/3 e ;I3=l[r^2r]0^2=4.
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2pi,(I1 - I2 + I3) =2pil(tfrac83-tfrac83+4r) =8pi

Resposta

8pi

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