Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral-pi / 4^pi / 4 16 sen^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-pi/4^pi/416,sin^2 xcos^2 x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos precisar das identidades de ângulo duplo e de redução de potência para simplificar o integrando.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade sin xcos x=tfrac12sin2x, o que dá
sin^2 xcos^2 x=l(tfrac12sin2xr)^2=tfrac14sin^2 2x
Assim o integrando fica
$$
16\sin^2 x\cos^2 x = 16\cdot\tfrac14\sin^2 2x =4\sin^2 2x$$

Passo 3

Agora aplicamos a redução de potência sin^2theta=tfrac1-cos2theta2 com theta=2x:
4sin^2 2x =4cdottfrac1-cos4x2=2-2cos4x

Passo 4

Uma primitiva de 2-2cos4x é
F(x)=integral(2-2cos4x),dx =2x -2cdottfracsin4x4 =2x-tfrac12sin4x

Passo 5

Por fim, avaliamos de -pi/4 a pi/4:
Fl(tfracpi4r)-Fl(-tfracpi4r)=l(2cdottfracpi4-tfrac12sinpir)-l(2cdot(-tfracpi4)-tfrac12sin(-pi)r)=tfracpi2-(-tfracpi2)=pi

Resposta

pi

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