Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^1 8 cos ^4 2 pi x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
De 0 a 1 de 8cos^4(2pi x),dx,
o que envolve integração de potência de cosseno usando fórmulas de redução de potência.

Passo 2

Para reduzir a potência de cos^4, lembramos que primeiro
cos^2alpha = 1+cos2alpha2
e então elevamos ao quadrado:
cos^4alpha = l(cos^2alphar)^2 = (1+cos2alpha2)^2 = 1 + 2cos2alpha + cos^22alpha4
Como
cos^22alpha = 1+cos4alpha2,
substituímos e obtemos a fórmula final:
cos^4alpha = 3 + 4cos2alpha + cos4alpha8

Passo 3

Aplicamos com alpha = 2pi x e multiplicamos por 8 para simplificar o integrando:
8cos^4(2pi x) = 8 cdot 3 + 4cos(4pi x) + cos(8pi x)8 = 3 + 4cos(4pi x) + cos(8pi x)

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
  • integral0^1 3,dx = 3
  • integral0^1 4cos(4pi x),dx = 44pisin(4pi x)|0^1 = 1pi(sin4pi - 0) = 0
  • integral0^1 cos(8pi x),dx = 18pisin(8pi x)|0^1 = 0
Só sobra 3.

Resposta

3

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