Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^pi / 2 7 cos ^7 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a pi/2 de 7cos^7 t,dt. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas, e vamos usar a técnica de substituição juntamente com a expansão de um binômio.

Passo 2

Tiramos a constante 7 para fora da integral. Assim temos:
integral0^pi/27cos^7 t,dt =7integral0^pi/2cos^7 t,dt

Passo 3

Observando que cos^7 t=cos t,(cos^2 t)^3 e que cos^2 t=1-sin^2 t, escrevemos
cos^7 t=cos t,(1-sin^2 t)^3
e fazemos a substituição u=sin t, daí du=cos t,dt.

Passo 4

Com os limites: quando t=0, u=0; quando t=pi/2, u=1. A integral passa a ser:
7integral0^1(1-u^2)^3,du

Passo 5

Expandimos o binômio
(1-u^2)^3=1-3u^2+3u^4-u^6
e, portanto,
7integral0^1(1-3u^2+3u^4-u^6),du

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral0^11,du=1, integral0^1u^2,du=tfrac13, integral0^1u^4,du=tfrac15, integral0^1u^6,du=tfrac17
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integral0^1(1-3u^2+3u^4-u^6),du=1-3cdottfrac13+3cdottfrac15-tfrac17=tfrac35-tfrac17

Passo 7

Calculamos a diferença e multiplicamos por 7:
tfrac35-tfrac17=tfrac21-535=tfrac1635, 7cdottfrac1635=tfrac11235=tfrac165

Resposta

165

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