Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral-pi / 2^pi / 2 cos ^3 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral-pi/2^pi/2 cos^3 x,dx. Isso cai em conteúdo de integrais de potências de funções trigonométricas e vamos precisar usar simetria de função par e uma substituição simples.

Passo 2

Como cos x é uma função par, temos que cos^3 x também é par. Para funções pares, integral-a^a f(x),dx = 2integral0^a f(x),dx. Logo,
integral-pi/2^pi/2 cos^3 x,dx = 2integral0^pi/2 cos^3 x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pi/2 cos^3 x,dx, escrevemos cos^3 x=cos x,(1-sin^2 x) e fazemos a substituição u=sin x, de modo que du=cos x,dx. Os limites em x=0 vão para u=0 e em x=pi/2 vão para u=1. A integral vira
integral0^pi/2 cos x,(1-sin^2 x),dx = integral0^1 (1-u^2),du = l[u-tfracu^33r]0^1 = 1-tfrac13 = tfrac23

Passo 4

Multiplicando pelo fator 2 que tiramos pela paridade, obtemos
2times tfrac23 = tfrac43

Resposta

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