Calcule as integrais dos exercícios 1-14.
integral0^pi / 2 35 sen^4 x cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de seno e cosseno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral: . Notamos que temos potências ímpares de cosseno, o que sugere que podemos usar a substituição. A ideia é isolar um fator de cosseno para fazer a substituição e simplificar a integral.

Passo 3

Vamos separar um cos x da cos^3 x para facilitar a substituição:

Passo 4

Sabemos que cos^2 x pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica . Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de u = sen x em relação a u é:
x
Isso significa que dudx = cos x implies du = cos x , dx .

Passo 6

Substituindo e u = sen x na integral original, temos:
cos x , dx = du

Passo 7

Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
35 integral0^pi / 2 (u^4 - u^6) , du

Passo 8

Integramos termo a termo:
35 [ u^55 - u^77 ] gr|0^pi / 2

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração. Porém, lembrando que , precisamos ajustar os limites para u = sen x:
  • Quando u,
  • Quando x = 0,
Portanto, a integral se torna:
u = sen 0 = 0

Passo 10

Simplificando a expressão:
35 ( 15 - 17 ) = 35 ( 7 - 535 ) = 35 ( 235 )

Passo 11

Multiplicando os termos:
35 times 235 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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