Calcule as integrais nos exercicios 7-20.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-x} \int_{0}^{2-x-y} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^1integral0^2-xintegral0^2-x-ydz,dy,dx
Esse cálculo dá o volume de uma região no primeiro octante limitada pelo plano x+y+z=2. Para resolver, usamos integrais iteradas: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integrando em z, com integrando igual a 1, obtemos
integral0^2-x-ydz = 2 - x - y
Logo a integral original vira
integral0^1integral0^2-x(2 - x - y),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^2-x(2 - x - y),dy = l[(2 - x),y - tfracy^22r]0^2-x = (2 - x)^2 - tfrac(2 - x)^22 = tfrac(2 - x)^22
Então sobra
integral0^1(2 - x)^22,dx

Passo 4

Para integrar em x, expandimos (2 - x)^2=x^2-4x+4:
integral0^1x^2-4x+42,dx = tfrac12l[tfracx^33-2x^2+4xr]0^1 = tfrac12l(tfrac13-2+4r) = tfrac12cdottfrac73 = tfrac76

Resposta

76

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