Calcule as integrais nos exercicios 7-20.
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1}(x+y+z) d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral-1^1integral-1^1integral-1^1(x+y+z),dy,dx,dz
O conteúdo é integração múltipla, e vamos usar a linearidade da integral e a simetria do domínio.

Passo 2

Pela linearidade da integral em soma de funções, escrevemos
integral-1^1integral-1^1integral-1^1(x+y+z),dy,dx,dz = integral-1^1integral-1^1integral-1^1x,dy,dx,dz + integral-1^1integral-1^1integral-1^1y,dy,dx,dz + integral-1^1integral-1^1integral-1^1z,dy,dx,dz

Passo 3

Observe que x é função ímpar de x e o intervalo de integração em x é simétrico [-1,1]. Logo
integral-1^1integral-1^1integral-1^1x,dy,dx,dz = integral-1^1integral-1^1l(integral-1^1x,dxr),dy,dz = 0

Passo 4

De modo análogo, y é ímpar em y no intervalo [-1,1], e z é ímpar em z no mesmo intervalo. Assim,
integral-1^1integral-1^1integral-1^1y,dy,dx,dz = 0
integral-1^1integral-1^1integral-1^1z,dy,dx,dz = 0

Passo 5

Somando as três parcelas,
integral-1^1integral-1^1integral-1^1(x+y+z),dy,dx,dz = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

0

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