1. Um tanque contém 40 litros de solução com 2 gramas de uma dada substância por litro. Água salgada contendo 3 gramas desta substância por litro entra no tanque à razão de 4 litros por minuto, a mistura é homogeneizada e sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.
  2. Um tanque contendo 300 litros de solução de salmoura com 0,225 quilogramas de sal por litro. No instante inicial começa a entrar no tanque outra solução de salmoura com 0,120 quilogramas de sal por litro, à razão de 15 litros por minuto, enquanto a mistura é homogeneizada e sai do tanque à razão de 30 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no quanto quando este tiver exatamente 150 litros de solução.

Passo 1

Resumo do problema 16: temos um tanque com volume constante de 40 L e concentração inicial de 2 g/L, logo massa inicial de sal A(0)=40cdot2=80 g. Entra solução com concentração de 3 g/L à vazão de 4 L/min e sai à mesma vazão. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de primeira ordem para massa de sal com volume constante.

Passo 2

Montamos a equação diferencial para A(t), massa de sal (em gramas) no tanque:
dAdt = taxa de entrada - taxa de saída = 4cdot3 - 4cdotA40 =12 - 110A í

Passo 3

Resolvendo a EDO
dAdt + 110A = 12,
o fator integrante é e^t/10. A solução geral é
A(t)=C e^-t/10+120
Impondo A(0)=80 C=-40, logo
A(t)=120-40e^-t/10

Passo 4

Para t=15 min:
A(15)=120-40e^-15/10 =120-40e^-1.5approx111,08 g

Passo 5

Resumo do problema 17: tanque inicial de 300 L com concentra\c{c}~ao 0,225 kg/L ( S(0)=67,5 kg). Entra solu\c{c}~ao com 0,120 kg/L `a 15 L/min e sai `a 30 L/min. O volume varia, e queremos a massa de sal quando o volume cai a 150 L. Trata-se de EDO linear de primeira ordem com coeficiente dependente de t.

Passo 6

O volume no tempo t é
V(t)=300+(15-30)t=300-15t
Igualando a 150 L, obtemos 300-15t=150implies t=10 min.

Passo 7

A massa de sal S(t) satisfaz
dSdt =underbrace15cdot0,1201,8 -30cdotSV(t) =1,8-30300-15tS =1,8-220-tS

Passo 8

Escrevemos a EDO em forma padrão
dSdt+220-tS=1,8
com fator integrante mu=(20-t)^-2. Integramos e achamos
S(t)=1,8(20-t)+C(20-t)^2
Impondo S(0)=67,5
67,5=1,8cdot20+400Cimplies C=0,07875

Passo 9

Para t=10 min (quando V=150 L) temos 20-t=10, logo
S(10)=1,8cdot10+0,07875cdot10^2 =18+7,875=25,875 kg

Resposta

16. Após 15 min, há
A(15)=120-40e^-1,5approx111,08 g
17. Quando o volume é 150 L (em t=10 min), a massa de sal é
S(10)=25,875 kg

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