Um tanque contém 40 litros de solução com 2 gramas de uma dada substância por litro. Água salgada contendo 3 gramas desta substância por litro entra no tanque à razão de 4 litros por minuto, a mistura é homogeneizada e sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.
Um tanque contendo 300 litros de solução de salmoura com 0,225 quilogramas de sal por litro. No instante inicial começa a entrar no tanque outra solução de salmoura com 0,120 quilogramas de sal por litro, à razão de 15 litros por minuto, enquanto a mistura é homogeneizada e sai do tanque à razão de 30 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no quanto quando este tiver exatamente 150 litros de solução.
Passo 1
Resumo do problema : temos um tanque com volume constante de L e concentração inicial de g/L, logo massa inicial de sal g. Entra solução com concentração de g/L à vazão de L/min e sai à mesma vazão. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de primeira ordem para massa de sal com volume constante.
Passo 2
Montamos a equação diferencial para , massa de sal (em gramas) no tanque:
Passo 3
Resolvendo a EDO
o fator integrante é . A solução geral é
Impondo dá , logo
Passo 4
Para min:
Passo 5
Resumo do problema : tanque inicial de L com concentra\c{c}~ao kg/L ( kg). Entra solu\c{c}~ao com kg/L `a L/min e sai `a L/min. O volume varia, e queremos a massa de sal quando o volume cai a L. Trata-se de EDO linear de primeira ordem com coeficiente dependente de .
Passo 6
O volume no tempo é
Igualando a L, obtemos min.
Passo 7
A massa de sal satisfaz
Passo 8
Escrevemos a EDO em forma padrão
dSdt+220-tS=1,8
com fator integrante mu=(20-t)^-2. Integramos e achamos
S(t)=1,8(20-t)+C(20-t)^2
Impondo S(0)=67,5 dá
67,5=1,8cdot20+400Cimplies C=0,07875
Passo 9
Para t=10 min (quando V=150 L) temos 20-t=10, logo
S(10)=1,8cdot10+0,07875cdot10^2 =18+7,875=25,875 kg
Resposta
16. Após 15 min, há
A(15)=120-40e^-1,5approx111,08 g
17. Quando o volume é 150 L (em t=10 min), a massa de sal é