Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left[(\operatorname{sen} t) i+(1+\cos t) j+\left(\operatorname{sec} ^{2} t\right) k\right] d t
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left[(\operatorname{sen} t) i+(1+\cos t) j+\left(\operatorname{sec} ^{2} t\right) k\right] d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral vetorial
Informações dadas:
Os limites de integração são
e
.\n
O integrando é um vetor com três componentes escalares:
(componente em
),
(componente em
) e
(componente em
).\n
Precisamos calcular a integral definida componente a componente e apresentar o vetor resultado.
Passo 2
Estratégia prática (aqui só explico o que vamos fazer, sem resolver ainda): quando integrando é um vetor função de
, integramos cada componente separadamente. Ou seja,
Agora vamos encontrar antiderivadas (primitivas) de cada função e avaliá-las entre
e
.
Passo 3
Componente
: integrar
. Lembrete básico: uma primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Logo
Agora aplicamos os limites:
Passo 4
Avaliação da componente
:
Sabendo que
é uma função par,
. Então
Portanto a componente em
é
.
Passo 5
Componente
: integrar
. Podemos integrar termo a termo. Lembretes:
e
porque a derivada de
é
. Assim
Aplicamos os limites:
Passo 6
Avaliação da componente
:
Sabendo que
e
, temos
Portanto a componente em
é
.
Passo 7
Componente
: integrar
. Lembrete importante: a derivada de
é
. Logo uma primitiva de
é
. Assim
Aplicamos os limites:
Passo 8
Avaliação da componente
:
Como
e
, obtemos
Portanto a componente em
é
.
Passo 9
Juntando as três componentes (resultado final em forma vetorial):