Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left[(\operatorname{sen} t) i+(1+\cos t) j+\left(\operatorname{sec} ^{2} t\right) k\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\big[(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{i}+(1+\cos t)\,\mathbf{j}+(\operatorname{sec}^{2}t)\,\mathbf{k}\big]\,dt.
Informações dadas:
\;1. Os limites de integração são -\pi/4 e \pi/4.\n \;2. O integrando é um vetor com três componentes escalares: \operatorname{sen} t (componente em \mathbf{i}), 1+\cos t (componente em \mathbf{j}) e \operatorname{sec}^{2}t (componente em \mathbf{k}).\n \;3. Precisamos calcular a integral definida componente a componente e apresentar o vetor resultado.

Passo 2

Estratégia prática (aqui só explico o que vamos fazer, sem resolver ainda): quando integrando é um vetor função de t, integramos cada componente separadamente. Ou seja,
\int_{a}^{b}\big[f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big]dt = \left(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b}g(t)\,dt\right)\mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Agora vamos encontrar antiderivadas (primitivas) de cada função e avaliá-las entre -\pi/4 e \pi/4.

Passo 3

Componente \mathbf{i}: integrar \operatorname{sen} t. Lembrete básico: uma primitiva de \operatorname{sen} t é -\cos t, porque a derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t. Logo
\int \operatorname{sen} t\,dt = -\cos t + C.
Agora aplicamos os limites:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\operatorname{sen} t\,dt = \big[-\cos t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4}.

Passo 4

Avaliação da componente \mathbf{i}:
\big[-\cos t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = -\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) -\big(-\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\big).
Sabendo que \cos é uma função par, \cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
-\frac{\sqrt{2}}{2} -\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=0.
Portanto a componente em \mathbf{i} é \;0.

Passo 5

Componente \mathbf{j}: integrar 1+\cos t. Podemos integrar termo a termo. Lembretes:
\int 1\,dt = t + C e \int \cos t\,dt = \sin t + C porque a derivada de \sin t é \cos t. Assim
\int (1+\cos t)\,dt = t + \sin t + C.
Aplicamos os limites:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(1+\cos t)\,dt = \big[t+\sin t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4}.

Passo 6

Avaliação da componente \mathbf{j}:
\big[t+\sin t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \left(\frac{\pi}{4}+\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{4}+\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).
Sabendo que \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2} -\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{2}+\sqrt{2}.
Portanto a componente em \mathbf{j} é \;\frac{\pi}{2}+\sqrt{2}.

Passo 7

Componente \mathbf{k}: integrar \operatorname{sec}^{2}t. Lembrete importante: a derivada de \tan t é \operatorname{sec}^{2}t. Logo uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}t é \tan t. Assim
\int \operatorname{sec}^{2}t\,dt = \tan t + C.
Aplicamos os limites:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{2}t\,dt = \big[\tan t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4}.

Passo 8

Avaliação da componente \mathbf{k}:
\big[\tan t\big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
Como \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 e \tan\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1, obtemos
1-(-1)=2.
Portanto a componente em \mathbf{k} é \;2.

Passo 9

Juntando as três componentes (resultado final em forma vetorial):
0\,\mathbf{i}+\left(\frac{\pi}{2}+\sqrt{2}\right)\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}.

Resposta

0\,\mathbf{i}+\left(\frac{\pi}{2}+\sqrt{2}\right)\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}

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