Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{0}^{\pi / 3}[(\operatorname{sec} t \operatorname{tg} t) i+(\operatorname{tg} t) j+(2 \operatorname{sen} t \cos t) k]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida, no intervalo [0,\pi/3], da função vetorial
Vou aplicar isso componente a componente. Não se assuste: é só calcular três integrais simples.
Passo 3
Primeira componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} t\tan t\,dt.
Motivação da primitiva: sabemos (ou podemos verificar pela derivada) que a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\tan t. Portanto uma primitiva de \operatorname{sec} t\tan t é \operatorname{sec} t. Assim,
\int \operatorname{sec} t\tan t\,dt=\operatorname{sec} t + C.
Calcule os valores: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} logo \operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2. E \operatorname{sec}(0)=1. Portanto
Duas maneiras de ver a primitiva (explico as duas para fixar):
Observação direta: a derivada de \sin^{2}t é 2\sin t\cos t (regra da cadeia: (\sin t)^2’ = 2\sin t\cdot(\sin t)' e (\sin t)'=\cos t). Assim uma primitiva é \sin^{2}t.
Alternativa: usar a identidade de ângulo duplo 2\sin t\cos t=\sin(2t), cuja primitiva é -\tfrac{1}{2}\cos(2t). Ambas dão o mesmo resultado ao avaliar os limites.
Tá ótimo — você fez uma integral vetorial completa! Respira, anota essa técnica: componente a componente, identifique primitivas (derivada de sec é sec·tan; para tan usar -ln|cos|; para 2 sin cos usar sin^2). Isso resolve muitos exercícios rápidos na prova.