Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{0}^{\pi / 3}[(\operatorname{sec} t \operatorname{tg} t) i+(\operatorname{tg} t) j+(2 \operatorname{sen} t \cos t) k]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida, no intervalo [0,\pi/3], da função vetorial
(\operatorname{sec} t\tan t)\,\mathbf{i}+(\tan t)\,\mathbf{j}+(2\sin t\cos t)\,\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas:
\text{limite inferior }=0,\qquad \text{limite superior }=\pi/3,
e os componentes do integrando (em ordem) são \operatorname{sec} t\tan t, \tan t e 2\sin t\cos t.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): integrais de funções vetoriais são calculadas componente a componente. Ou seja, se tivermos
\mathbf{F}(t)=F_1(t)\,\mathbf{i}+F_2(t)\,\mathbf{j}+F_3(t)\,\mathbf{k},
então
\int_{a}^{b}\mathbf{F}(t)\,dt=\left(\int_{a}^{b}F_1(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b}F_2(t)\,dt\right)\mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b}F_3(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Vou aplicar isso componente a componente. Não se assuste: é só calcular três integrais simples.

Passo 3

Primeira componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} t\tan t\,dt.
Motivação da primitiva: sabemos (ou podemos verificar pela derivada) que a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\tan t. Portanto uma primitiva de \operatorname{sec} t\tan t é \operatorname{sec} t. Assim,
\int \operatorname{sec} t\tan t\,dt=\operatorname{sec} t + C.
Agora aplicamos os limites:
\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} t\tan t\,dt=\left[\operatorname{sec} t\right]_{0}^{\pi/3}=\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\operatorname{sec}(0).
Calcule os valores: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} logo \operatorname{sec}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2. E \operatorname{sec}(0)=1. Portanto
\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} t\tan t\,dt=2-1=1.

Passo 4

Segunda componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\tan t\,dt.
Explicação didática da primitiva: \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Uma técnica padrão é fazer a substituição u=\cos t, então du=-\sin t\,dt. Assim
\int \tan t\,dt=\int \frac{\sin t}{\cos t}\,dt=\int \frac{-1}{u}\,du=-\ln|u|+C=-\ln|\cos t|+C.
Aplicando os limites:
\int_{0}^{\pi/3}\tan t\,dt=\left[-\ln|\cos t|\right]_{0}^{\pi/3}=-\ln\!\left|\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\right|+ \ln|\cos 0|.
Calcule: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} e \cos 0=1. Logo
-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+\ln(1)=-\big(-\ln 2\big)+0=\ln 2.
Portanto a segunda componente integrada vale \ln 2.

Passo 5

Terceira componente: \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}2\sin t\cos t\,dt.
Duas maneiras de ver a primitiva (explico as duas para fixar):
  • Observação direta: a derivada de \sin^{2}t é 2\sin t\cos t (regra da cadeia: (\sin t)^2’ = 2\sin t\cdot(\sin t)' e (\sin t)'=\cos t). Assim uma primitiva é \sin^{2}t.
  • Alternativa: usar a identidade de ângulo duplo 2\sin t\cos t=\sin(2t), cuja primitiva é -\tfrac{1}{2}\cos(2t). Ambas dão o mesmo resultado ao avaliar os limites.
Vou usar a primitiva \sin^{2}t:
\int_{0}^{\pi/3}2\sin t\cos t\,dt=\left[\sin^{2}t\right]_{0}^{\pi/3}=\sin^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\sin^{2}(0).
Calcule: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} então \sin^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{3}{4}. E \sin^2(0)=0. Portanto
\int_{0}^{\pi/3}2\sin t\cos t\,dt=\tfrac{3}{4}.

Passo 6

Juntando as três componentes (lembre: integrais componentes em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
\int_{0}^{\pi/3}\big[(\operatorname{sec} t\tan t)\,\mathbf{i}+(\tan t)\,\mathbf{j}+(2\sin t\cos t)\,\mathbf{k}\big]\,dt =1\,\mathbf{i}+\ln 2\,\mathbf{j}+\tfrac{3}{4}\,\mathbf{k}.
Tá ótimo — você fez uma integral vetorial completa! Respira, anota essa técnica: componente a componente, identifique primitivas (derivada de sec é sec·tan; para tan usar -ln|cos|; para 2 sin cos usar sin^2). Isso resolve muitos exercícios rápidos na prova.

Resposta

\;1\,\mathbf{i}+\ln 2\,\mathbf{j}+\tfrac{3}{4}\,\mathbf{k}

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