Calcule as integrais dos exercicios 23-32.
integralpi / 4^pi / 2 cosec^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de csc^4theta de theta=pi/4 até theta=pi/2. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituições adequadas.

Passo 2

Vamos usar a identidade csc^2theta=1+cot^2theta para reescrever csc^4theta como csc^2theta(1+cot^2theta). Dessa forma,
integral csc^4theta,dtheta=integral csc^2thetal(1+cot^2thetar),dtheta

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=cottheta, o que implica du=-csc^2theta,dtheta. Então
integral csc^2thetal(1+cot^2thetar),dtheta=-integral (1+u^2),du

Passo 4

Integrando, obtemos a primitiva
-integral(1+u^2),du=-(u+tfracu^33)+C= -l(cottheta+tfraccot^3theta3r)+C

Passo 5

Finalmente avaliamos essa expressão de theta=pi/4 até theta=pi/2. Em theta=pi/2 temos cot(pi/2)=0, e em theta=pi/4 temos cot(pi/4)=1. Logo,
l[ -l(cottheta+tfraccot^3theta3r)r]pi/4^pi/2=0 - l[-l(1+tfrac1^33r)r]=tfrac43

Resposta

\tfrac{4}{3}

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