Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( em^circ C ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 48 horas depois (t=48). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t)=15-5 cdot sen(pi6 t+3 pi2), em que t indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação H(t) à temperatura (em ^circ C) no instante t.
Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado descreve que a temperatura do solo em função do tempo (em horas) é dada por
H(t)=15-5,sinl(pi6t+3pi2r),
essa é uma função senoidal. Para esboçar o gráfico, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas: amplitude, período, deslocamento de fase e deslocamento vertical.

Passo 2

Vamos identificar os parâmetros da senóide diretamente em
H(t)=15-5,sinl(pi6t+3pi2r):
- Amplitude: A=5.
- Eixo médio (deslocamento vertical): y=15.
- Frequência angular: omega=pi6.
- Fase inicial: varphi=3pi2.

Passo 3

O período da função é dado por
T=2piomega=2pipi/6=12 horas

Passo 4

Usando a identidade
sinl(x+tfrac3pi2r)=-cos(x),
podemos reescrever
H(t)=15-5l[-cos(tfracpi6t)r]=15+5cosl(pi6tr)
Isso mostra que é uma função cosseno sem deslocamento de fase.

Passo 5

Agora encontramos os pontos principais num período de 12 h:
  • Máximos em t=0,12,24,36,48 com H=15+5=20.
  • Mínimos em t=6,18,30,42 com H=15-5=10.
  • Passa pela linha média H=15 em t=3,9,15,21,27,33,39,45.

Passo 6

Para esboçar, trace o eixo t de 0 a 48 horas e o eixo H de 10 a 20°C, marque os pontos encontrados e una-os com uma curva suave caracterizando o cosseno de período 12 h, amplitude 5 e centro em y=15.

Resposta

O gráfico é uma cosseno de amplitude 5, período 12 h, eixo médio em y=15, que inicia em (0,20), atinge mínimos em t=6,18,30,42 ( H=10) e repete esse ciclo até t=48.

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