Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 48 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura
no instante
.
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o horários em que ela ocorreu.
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o horários em que ela ocorreu.
Passo 1
O enunciado dá a função de temperatura no solo ao longo de 48 h: H(t)=15−5·sen( (π/6)t + 3π/2 ). O conteúdo é análise de função trigonométrica para encontrar máximos, usando amplitude, valor médio e fase.
Passo 2
Identificamos que H(t) é uma função do tipo H(t)=C−A sen(…) com C=15 (valor médio) e A=5 (amplitude). O valor máximo de H ocorre quando sen(…) for mínimo, ou seja sen(φ)=−1.
Passo 3
Para achar os instantes t em que sen(φ)=−1 definimos φ=(π/6)t+3π/2. Então impondo sen(φ)=−1 temos φ=3π/2+2πk, k∈ℤ. Assim
que leva a
portanto
Passo 4
Como o domínio é 0≤t≤48 e k inteiro, os valores possíveis são k=0,1,2,3,4, resultando em t=0,12,24,36 e 48 horas. Nestes instantes temos sen(…)=-1 e
Resposta
A temperatura máxima é 20°C e ocorre em t=0, 12, 24, 36 e 48 horas.