Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( em^circ C ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 48 horas depois (t=48). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t)=15-5 cdot sen(pi6 t+3 pi2), em que t indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação H(t) à temperatura (em ^circ C) no instante t.
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o horários em que ela ocorreu.

Passo 1

O enunciado dá a função de temperatura no solo ao longo de 48 h: H(t)=15−5·sen( (π/6)t + 3π/2 ). O conteúdo é análise de função trigonométrica para encontrar máximos, usando amplitude, valor médio e fase.

Passo 2

Identificamos que H(t) é uma função do tipo H(t)=C−A sen(…) com C=15 (valor médio) e A=5 (amplitude). O valor máximo de H ocorre quando sen(…) for mínimo, ou seja sen(φ)=−1.

Passo 3

Para achar os instantes t em que sen(φ)=−1 definimos φ=(π/6)t+3π/2. Então impondo sen(φ)=−1 temos φ=3π/2+2πk, k∈ℤ. Assim
(π/6)t+3π/2=3π/2+2πk
que leva a
(π/6)t=2πk
portanto
t=12k .

Passo 4

Como o domínio é 0≤t≤48 e k inteiro, os valores possíveis são k=0,1,2,3,4, resultando em t=0,12,24,36 e 48 horas. Nestes instantes temos sen(…)=-1 e
H extmax=15-5cdot(-1)=20°C .

Resposta

A temperatura máxima é 20°C e ocorre em t=0, 12, 24, 36 e 48 horas.

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