Duas funções, f e g, são chamadas de ortogonais em um intervalo a <= x <= b se integrala^b f(x) g(x) d x=0.
Prove que sen m x e sen n x sào ortogonais em qualquer intervalo de comprimento 2 pi desde que m e n sejam inteiros, tais que m^2 neq n^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para inteiros m e n com m^2\neq n^2, as funções sin(mx) e sin(nx) satisfazem
integrala^a+2pisin(mx)sin(nx),dx = 0
em qualquer intervalo de comprimento 2\pi. O conteúdo principal é ortogonalidade de funções via cálculo de integrais e uso da identidade trigonométrica produto-para-soma.

Passo 2

Usar a identidade produto-para-soma para senos. Sabemos que
sin(mx)sin(nx) = 12l[cos((m-n)x) - cos((m+n)x)r]

Passo 3

Substituir essa identidade na integral:
integrala^a+2pisin(mx)sin(nx),dx = 12integrala^a+2picos((m-n)x),dx - 12integrala^a+2picos((m+n)x),dx

Passo 4

Calcular cada integral de cos(kx). Em geral,
integralcos(kx),dx = 1ksin(kx)
Logo,
integrala^a+2picos(kx),dx = 1kl[sin(k(a+2pi)) - sin(ka)r]

Passo 5

Usar a periodicidade do seno. Como k=mpm n é inteiro não nulo (porque m^2neq n^2 impede mpm n=0), temos
sin(k(a+2pi)) = sin(ka + 2pi k) = sin(ka),
logo cada uma das integrais de cos((m-n)x) e cos((m+n)x) é zero.

Passo 6

Concluir que
integrala^a+2pisin(mx)sin(nx),dx = 0
sempre que m^2neq n^2. Portanto, sin(mx) e sin(nx) são ortogonais em qualquer intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 7

Finalizamos a prova mostrando que a integral se anula graças à identidade produto-para-soma e à periodicidade do seno.

Resposta

integrala^a+2pisin(mx)sin(nx),dx = 0

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