Duas funções,
e
, são chamadas de ortogonais em um intervalo
se
.
Prove que sen
e sen
sào ortogonais em qualquer intervalo de comprimento
desde que
e
sejam inteiros, tais que
.
Prove que sen
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para inteiros m e n com m^2\neq n^2, as funções
e
satisfazem
em qualquer intervalo de comprimento 2\pi. O conteúdo principal é ortogonalidade de funções via cálculo de integrais e uso da identidade trigonométrica produto-para-soma.
Passo 2
Usar a identidade produto-para-soma para senos. Sabemos que
Passo 3
Substituir essa identidade na integral:
Passo 4
Calcular cada integral de
. Em geral,
Logo,
Passo 5
Usar a periodicidade do seno. Como
é inteiro não nulo (porque
impede
), temos
logo cada uma das integrais de
e
é zero.
Passo 6
Concluir que
sempre que
. Portanto,
e
são ortogonais em qualquer intervalo de comprimento 2\pi.
Passo 7
Finalizamos a prova mostrando que a integral se anula graças à identidade produto-para-soma e à periodicidade do seno.