Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de
em relação a
. Esse problema está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos deixar
, porque ao derivar, simplifica. Então,
. Agora,
. Para encontrar
, vamos integrar
.
Passo 4
Integrando
, temos:
Isso porque a integral de
é
, onde
no nosso caso.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, precisamos calcular a integral de
.
Passo 7
Integrando
:
Porque a integral de
é
.
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Resposta
Então, a integral de
é:
Onde
é a constante de integração.