Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
integral theta cos pi theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de theta cos pi theta em relação a theta. Esse problema está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv.

Passo 3

No nosso caso, temos theta cos pi theta. Vamos deixar u = theta, porque ao derivar, simplifica. Então, du = dtheta. Agora, dv = cos pi theta , dtheta. Para encontrar v, vamos integrar dv.

Passo 4

Integrando dv = cos pi theta , dtheta, temos:
v = integral cos pi theta , dtheta = sin pi thetapi
Isso porque a integral de cos kx é sin kxk, onde k = pi no nosso caso.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral theta cos pi theta , dtheta = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= theta cdot sin pi thetapi - integral sin pi thetapi cdot dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
= theta sin pi thetapi - 1pi integral sin pi theta , dtheta
Agora, precisamos calcular a integral de sin pi theta.

Passo 7

Integrando sin pi theta:
integral sin pi theta , dtheta = -cos pi thetapi
Porque a integral de sin kx é -cos kxk.

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
= theta sin pi thetapi - 1pi (-cos pi thetapi)
= theta sin pi thetapi + cos pi thetapi^2

Resposta

Então, a integral de theta cos pi theta , dtheta é:
integral theta cos pi theta , dtheta = theta sin pi thetapi + cos pi thetapi^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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