Seja
diferenciável em
e tal que
, para todo
em
, onde
é uma função de
em
dada.
Prove que
é constante sobre cada circunferência de centro na origem.
Sugestão:
fornece os valores de
sobre a circunferência
。
Prove que
Sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre uma função diferenciável
em
cuja gradiente é dada por
, onde
é uma função real. A gente precisa provar que
é constante em cada circunferência com centro na origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como gradiente e propriedades de funções em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
.
O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Então, temos:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos considerar uma circunferência de raio
centrada na origem, dada por
.
Para estudar
nessa circunferência, é útil usar coordenadas polares, onde
e , com
variando de
a
.
Queremos mostrar que é constante, ou seja, não depende de
.
Passo 4
Vamos definir uma função auxiliar
que representa
ao longo da circunferência:
Nosso objetivo é mostrar que
é constante para todo
, o que implicaria que
é constante na circunferência.
Passo 5
Para provar isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e mostrar que ela é zero.
Usando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Substituindo isso:
Passo 6
Agora, lembrando que
e
, substituímos na expressão:
Simplificando:
Passo 7
Como
, isso significa que
é constante em relação a
. Ou seja, não muda quando
varia.
Portanto,
é constante em toda circunferência de raio
centrada na origem.