Seja z=f(x, y) diferenciável em R^2 e tal que nabla f(x, y)=g(x, y) cdot(x, y), para todo (x, y) em R^2, onde g(x, y) é uma função de R^2 em R dada.
Prove que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem.
Sugestão: g(t)=f(R cos t, R sen t) fornece os valores de f sobre a circunferência x^2+y^2=R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre uma função diferenciável em cuja gradiente é dada por , onde é uma função real. A gente precisa provar que é constante em cada circunferência com centro na origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como gradiente e propriedades de funções em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = g(x, y) cdot (x, y) = ( g(x, y) cdot x, g(x, y) cdot y ) .
O gradiente partial fpartial x = g(x, y) cdot x e partial fpartial y = g(x, y) cdot y é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a e . Então, temos:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos considerar uma circunferência de raio centrada na origem, dada por .
Para estudar nessa circunferência, é útil usar coordenadas polares, onde e , com variando de a .
Queremos mostrar que é constante, ou seja, não depende de .

Passo 4

Vamos definir uma função auxiliar g(t) = f(R cos t, R sen t) que representa ao longo da circunferência:
Nosso objetivo é mostrar que é constante para todo , o que implicaria que é constante na circunferência.

Passo 5

Para provar isso, vamos calcular a derivada de g'(t) = ddt f(R cos t, R sen t) = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt em relação a dxdt = -R sen t e dydt = R cos t e mostrar que ela é zero.
Usando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Substituindo isso:

Passo 6

Agora, lembrando que g'(t) = g(R cos t, R sen t) cdot (R cos t) cdot (-R sen t) + g(R cos t, R sen t) cdot (R sen t) cdot (R cos t) e g'(t) = -g(R cos t, R sen t) cdot R^2 cos t sen t + g(R cos t, R sen t) cdot R^2 sen t cos t = 0 , substituímos na expressão:
Simplificando:

Passo 7

Como , isso significa que é constante em relação a . Ou seja, não muda quando varia.
Portanto, é constante em toda circunferência de raio centrada na origem.

Resposta

é constante em cada circunferência de centro na origem.

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