Calcule
integral d x(x-1)(x-2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor a expressão em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração 1(x - 1)(x - 2)^2 = Ax - 1 + Bx - 2 + C(x - 2)^2 como uma soma de frações parciais. Isso significa que vamos encontrar números , e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores para 1 = A(1 - 2)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow 1 = A(1) Rightarrow A = 1 que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar 1 = A(0) + B(0) + C(1) Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1 , e .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que já temos 1 = 1(0 - 2)^2 + B(0 - 1)(0 - 2) + 1(0 - 1) 1 = 1 cdot 4 + B cdot ( -1 ) cdot ( -2 ) + 1 cdot (-1) 1 = 4 + 2B - 1 1 = 3 + 2B 2B = -2 Rightarrow B = -1 e , vamos escolher outro valor para para encontrar . Vamos usar :

Passo 6

Agora que encontramos 1(x - 1)(x - 2)^2 = 1x - 1 - 1x - 2 + 1(x - 2)^2 , e , podemos escrever a decomposição das frações parciais:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral dxx - 1 - integral dxx - 2 + integral dx(x - 2)^2
  • Primeira integral:
integral dxx - 1 = ln|x - 1|
  • Segunda integral:
integral dxx - 2 = ln|x - 2|
  • Terceira integral:
integral dx(x - 2)^2 = -1x - 2

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|x - 1| - ln|x - 2| - 1x - 2 + C
onde é a constante de integração.

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