Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \sqrt{25-t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{25-t^{2}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \sqrt{25-t^{2}}.
  • Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-t^{2}} é clássico usar substituição trigonométrica porque as identidades trigonométricas simplificam a raiz. Vou escolher a substituição
t = 5\sin\theta,
pois então 25-t^{2}=25(1-\sin^{2}\theta)=25\cos^{2}\theta, cuja raiz é simples. Observação sobre domínio: essa substituição cobre t\in[-5,5]; para t fora disso a raiz fica imaginária, então a fórmula final vale como primitiva real para t\in[-5,5].

Passo 3

Calcular as quantidades decorrentes da substituição:
  • Diferencial: dt = 5\cos\theta\,d\theta.
  • Raiz: \sqrt{25-t^{2}}=\sqrt{25\cos^{2}\theta}=5\lvert\cos\theta\rvert.
    Usando a escolha padrão de \theta em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (correspondente a \sin\theta invertível), temos \cos\theta\ge0 e portanto \sqrt{25-t^{2}}=5\cos\theta.

Passo 4

Substituir na integral:
\int \sqrt{25-t^{2}}\,dt = \int (5\cos\theta)\cdot(5\cos\theta\,d\theta) = \int 25\cos^{2}\theta\,d\theta.
Ou seja,
\int \sqrt{25-t^{2}}\,dt = 25\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica para \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
25\int \cos^{2}\theta\,d\theta = 25\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{25}{2}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Integrando termo a termo:
\frac{25}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right) + C,
pois \int 1\,d\theta=\theta e \int \cos(2\theta)\,d\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta).

Passo 6

Voltar para a variável t. Primeiro \theta em função de t:
\theta = \arcsin\!\left(\frac{t}{5}\right).
Depois, simplificar \sin(2\theta) usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Como \sin\theta=\dfrac{t}{5} e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{25-t^{2}}}{5}, tem-se
\sin(2\theta)=2\cdot\frac{t}{5}\cdot\frac{\sqrt{25-t^{2}}}{5}=\frac{2t\sqrt{25-t^{2}}}{25}.
Substituindo em
\frac{25}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C
obtém-se
\frac{25}{2}\arcsin\!\left(\frac{t}{5}\right) + \frac{25}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2t\sqrt{25-t^{2}}}{25} + C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{25}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2t\sqrt{25-t^{2}}}{25}=\frac{1}{2}\,t\sqrt{25-t^{2}}.

Passo 7

Portanto a primitiva final é
\frac{1}{2}\,t\sqrt{25-t^{2}}+\frac{25}{2}\arcsin\!\left(\frac{t}{5}\right)+C.
Também se pode escrever de forma combinada:
\frac{1}{2}\Bigl(t\sqrt{25-t^{2}}+25\arcsin\!\left(\frac{t}{5}\right)\Bigr)+C.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,t\sqrt{25-t^{2}}+\dfrac{25}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{t}{5}\right)+C

Exercícios relacionados