Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: quando aparece uma raiz do tipo
é clássico usar substituição trigonométrica porque as identidades trigonométricas simplificam a raiz. Vou escolher a substituição
pois então
, cuja raiz é simples. Observação sobre domínio: essa substituição cobre
; para
fora disso a raiz fica imaginária, então a fórmula final vale como primitiva real para
.
Passo 3
Calcular as quantidades decorrentes da substituição:
- Diferencial:
. - Raiz:
.
Usando a escolha padrão deem (correspondente a invertível), temos e portanto .
Passo 4
Substituir na integral:
Ou seja,
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica para
:
Portanto
Integrando termo a termo:
pois
e
.
Passo 6
Voltar para a variável
. Primeiro
em função de
:
Depois, simplificar
usando a identidade
. Como
e
, tem-se
Substituindo em
obtém-se
Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Portanto a primitiva final é
Também se pode escrever de forma combinada: