Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado fornece a integral definida
A pergunta é: calcular o valor dessa integral.
Observação importante sobre o limite superior:
. Para
a expressão
não é real (potência fracionária de número negativo), e a integranda fica fora do domínio real. Por isso faz sentido interpretar que o enunciado pretendeu a razão
(que vale aproximadamente
e é menor que
). Vou seguir essa interpretação e calcular
Passo 2
Escolher uma substituição adequada. Quando aparece
ou potências de
, a substituição trigonométrica
costuma simplificar muito porque
que tem raiz e potências fáceis. Vamos usar
Agora calculemos o diferencial e o intervalo em
:
Quando
tem-se
. Quando
tem-se
.
Portanto o novo intervalo é .
Portanto o novo intervalo é
Passo 3
Transformar a integranda com a substituição
. Primeiro escrevemos cada parte em
:
Substituindo tudo dentro da integral:
Repare que
. Logo a integral fica
Passo 4
Integrar
. Use a identidade trigonométrica
porque
. Assim
As primitivas conhecidas são
e
. Portanto uma primitiva de
é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Sabendo que
e
, obtemos