Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int_{0}^{\sqrt{3 / 2}} \frac{4 x^{2} d x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado fornece a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{3/2}} \frac{4x^{2}\,dx}{\left(1-x^{2}\right)^{3/2}}.
A pergunta é: calcular o valor dessa integral.
Observação importante sobre o limite superior: \sqrt{3/2}\approx1{,}2247>1. Para x>1 a expressão \left(1-x^{2}\right)^{3/2} não é real (potência fracionária de número negativo), e a integranda fica fora do domínio real. Por isso faz sentido interpretar que o enunciado pretendeu a razão \sqrt{3}/2 (que vale aproximadamente 0{,}8660 e é menor que 1). Vou seguir essa interpretação e calcular
\int_{0}^{\sqrt{3}/2} \frac{4x^{2}\,dx}{\left(1-x^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 2

Escolher uma substituição adequada. Quando aparece \sqrt{1-x^{2}} ou potências de 1-x^{2}, a substituição trigonométrica x=\sin\theta costuma simplificar muito porque
1-x^{2}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta,
que tem raiz e potências fáceis. Vamos usar
x=\sin\theta.
Agora calculemos o diferencial e o intervalo em \theta:
dx=\cos\theta\,d\theta.
Quando x=0 tem-se \theta=0. Quando x=\sqrt{3}/2 tem-se \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.
Portanto o novo intervalo é \theta\in[0,\pi/3].

Passo 3

Transformar a integranda com a substituição x=\sin\theta. Primeiro escrevemos cada parte em \theta:
x^{2}=\sin^{2}\theta,\qquad dx=\cos\theta\,d\theta,\qquad \left(1-x^{2}\right)^{3/2}=\left(\cos^{2}\theta\right)^{3/2}=\cos^{3}\theta.
Substituindo tudo dentro da integral:
\frac{4x^{2}\,dx}{(1-x^{2})^{3/2}} = \frac{4\sin^{2}\theta\cdot\cos\theta\,d\theta}{\cos^{3}\theta} =4\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\,d\theta.
Repare que \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\tan^{2}\theta. Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi/3} 4\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar 4\tan^{2}\theta. Use a identidade trigonométrica
\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1,
porque \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta. Assim
4\tan^{2}\theta = 4(\operatorname{sec}^{2}\theta-1).
As primitivas conhecidas são \displaystyle\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \tan\theta e \displaystyle\int 1\,d\theta=\theta. Portanto uma primitiva de 4\tan^{2}\theta é
4\bigl(\tan\theta-\theta\bigr).

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites \theta=0 e \theta=\pi/3:
\left.4\bigl(\tan\theta-\theta\bigr)\right|_{0}^{\pi/3} =4\bigl(\tan(\pi/3)-\tfrac{\pi}{3}\bigr)-4\bigl(\tan 0-0\bigr).
Sabendo que \tan(\pi/3)=\sqrt{3} e \tan 0=0, obtemos
4\bigl(\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}\bigr)-0 =4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}.

Resposta

4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}

Exercícios relacionados