Calcule as integrais dos exercícios 35-40.
40.
\int \frac{(x+1)^{2} \operatorname{arctg}(3 x)+9 x^{3}+x}{\left(9 x^{2}+1\right)(x+1)^{2}} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular
\int \frac{(x+1)^{2}\arctan(3x)+9x^{3}+x}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx
O conteúdo aqui envolve decompor a integral em duas partes, usando substituição para o termo com \arctan(3x) e manipulação algébrica para o termo racional restante.

Passo 2

Separe a integral em
\int \frac{(x+1)^{2}\arctan(3x)}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx \;+\; \int \frac{9x^{3}+x}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx.
A primeira parte é
\int \frac{\arctan(3x)}{9x^{2}+1}\,dx,
e a segunda é
\int \frac{9x^{3}+x}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Para
I_{1}=\int \frac{\arctan(3x)}{9x^{2}+1}\,dx,
faça a substituição
\displaystyle u=\arctan(3x), daí
\displaystyle du=\frac{3}{9x^{2}+1}\,dx
ou
\displaystyle \frac{1}{9x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Logo
I_{1} =\int \arctan(3x)\,\frac{1}{9x^{2}+1}\,dx =\int u\cdot\frac{1}{3}\,du =\frac{1}{3}\,\frac{u^{2}}{2} =\frac{1}{6}\,\bigl(\arctan(3x)\bigr)^{2}.

Passo 4

Para
I_{2}=\int \frac{9x^{3}+x}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx
observe que 9x^{3}+x=x(9x^{2}+1). Então
I_{2} =\int \frac{x(9x^{2}+1)}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx =\int \frac{x}{(x+1)^{2}}\,dx.
Escreva x=(x+1)-1, assim
\frac{x}{(x+1)^{2}} =\frac{x+1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}} =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Logo
I_{2} =\int\!\Bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\Bigr)\,dx =\ln\lvert x+1\rvert +\frac{1}{x+1} +C_{2}.

Resposta

\int \frac{(x+1)^{2}\arctan(3x)+9x^{3}+x}{(9x^{2}+1)(x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{6}\,\bigl(\arctan(3x)\bigr)^{2} +\ln\lvert x+1\rvert +\frac{1}{x+1} +C.

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