Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
16.
\int \frac{1}{\theta^{2}} \operatorname{cosec} \frac{1}{\theta} d \theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\int \frac{1}{\theta^{2}}\csc\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)\,d\theta
O conteúdo aqui é usar substituição para reduzir à forma-padrão de \int \csc x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{1}{\theta}, \quad du = -\frac{1}{\theta^{2}}\,d\theta
Logo
\frac{1}{\theta^{2}}\,d\theta = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{1}{\theta^{2}}\csc\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)\,d\theta = -\int \csc(u)\,du.

Passo 4

Usamos a forma-padrão
\int \csc(u)\,du = -\ln\bigl|\csc u + \cot u\bigr| + C.
Portanto
-\int \csc(u)\,du = -\bigl[-\ln\bigl|\csc u + \cot u\bigr|\bigr] + C = \ln\bigl|\csc u + \cot u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta com u=1/\theta, chegamos a
\ln\!\Bigl|\csc\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)+\cot\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)\Bigr| + C.

Resposta

\boxed{\ln\!\Bigl|\csc\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)+\cot\!\bigl(\tfrac{1}{\theta}\bigr)\Bigr| + C}

Exercícios relacionados