Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
17.
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} 2 x e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} 2x\,e^{x^{2}}\,dx
usando uma substituição que a reduza à forma-padrão \int e^{u}du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Dessa forma,
du = 2x\,dx.
Quando x=0, temos u=0.
Quando x=\sqrt{\ln 2}, temos
u=(\sqrt{\ln 2})^{2}=\ln 2.
Logo, a integral vira
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} 2x\,e^{x^{2}}\,dx =\int_{u=0}^{u=\ln 2} e^{u}\,du.

Passo 3

Integrando \displaystyle \int e^{u}\,du, obtemos e^{u}. Avaliando de u=0 a u=\ln 2, dá
e^{\ln 2}-e^{0}=2-1=1.

Resposta

1

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