Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
20.
\int \frac{e^{\sqrt{t}} d t}{\sqrt{t}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,dt
usando uma substituição que a reduza a uma forma-padrão. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos transformar a parte \sqrt{t} numa nova variável para simplificar.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \sqrt{t}.
Então t = u^2 e, derivando,
dt = 2u\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}\,dt = \int \frac{e^{u}}{u}\,\bigl(2u\,du\bigr) = 2 \int e^{u}\,du.

Passo 4

A integral \int e^{u}\,du é padrão e vale e^{u} + C. Portanto,
2 \int e^{u}\,du = 2e^{u} + C.

Resposta

2e^{\sqrt{t}} + C

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