Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
19.
\int e^{\operatorname{tg} v} \operatorname{sec} ^{2} v d v

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int e^{\tan v}\,\operatorname{sec}^2 v\,dv
e pede para usar uma substituição que reduza essa integral à forma-padrão de uma exponencial.

Passo 2

Observamos que a derivada de \tan v é \operatorname{sec}^2 v. Logo, fazemos a substituição
u = \tan v
o que implica
du = \operatorname{sec}^2 v\,dv.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int e^{\tan v}\,\operatorname{sec}^2 v\,dv = \int e^{u}\,du,
que é a forma-padrão para integrar uma exponencial.

Passo 4

A integral de e^{u} em relação a u é
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Voltando à variável v, obtemos
e^{u} + C = e^{\tan v} + C.

Resposta

e^{\tan v} + C

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