Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
24.
\int 10^{2 \theta} d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int 10^{2\theta}\,d\theta
que é um caso de função exponencial de base a=10 com expoente dependente de \theta. Para resolver, vamos usar uma substituição que transforme o expoente em uma variável nova, reduzindo a integral à forma-padrão
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2\theta,
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du = 2\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int 10^{2\theta}\,d\theta = \int 10^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 10^{u}\,du.

Passo 4

Agora usamos a forma-padrão para a base 10:
\int 10^{u}\,du = \frac{10^{u}}{\ln 10} + C.
Portanto,
\frac{1}{2}\int 10^{u}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{10^{u}}{\ln 10} + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta (ou seja, u=2\theta), obtemos
\frac{1}{2}\,\frac{10^{u}}{\ln 10} + C = \frac{10^{2\theta}}{2\,\ln 10} + C.

Resposta

\frac{10^{2\theta}}{2\,\ln 10} + C

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