Calcule as integrais dos exercícios 37-42, completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{1}^{2} \frac{8 d x}{x^{2}-2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\frac{8\,dx}{x^{2}-2x+2}
O conteúdo é integração de função racional cujo denominador é um polinômio quadrático. Vamos usar completar o quadrado para reescrever o denominador no formato (x-a)^2+b^2 e em seguida fazer uma substituição que leva à forma-padrão
\int\frac{du}{u^2+1}=\arctan(u).

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^{2}-2x+2 = (x-1)^2 + 1.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - 1, \quad du = dx.
Quando x=1, temos u=0. Quando x=2, temos u=1. Assim a integral vira
\int_{1}^{2}\frac{8\,dx}{(x-1)^2+1} = 8 \int_{0}^{1}\frac{du}{u^2+1}.

Passo 4

Reconhecemos a forma-padrão
\int\frac{du}{u^2+1} = \arctan(u).
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8 \int_{0}^{1}\frac{du}{u^2+1} = 8\bigl[\arctan(u)\bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliação no intervalo:
8\bigl(\arctan(1)-\arctan(0)\bigr) = 8\Bigl(\frac{\pi}{4}-0\Bigr) =2\pi.

Resposta

2\pi

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