\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}
O conteúdo envolvido é técnica de integração por substituição, aproveitando que a derivada de e^{x} é e^{x}.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = e^{x},
de modo que
du = e^{x}dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{u}.

Passo 3

Reescrevendo o denominador em termos de u:
e^{x}+e^{-x} = u + \frac{1}{u} = \frac{u^{2}+1}{u}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} obtemos
\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{\frac{du}{u}}{\frac{u^{2}+1}{u}} = \frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 4

Agora a integral fica
\int \frac{du}{u^{2}+1}
e sabemos que
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=e^{x}, o resultado final é
\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C

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