Calcule as integrais nos exercícios. Verifique suas resposta diferenciando.
\int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right)\,dx
e depois verificar a resposta diferenciando. Informações dadas:
  • A integranda é composta por três termos: \frac{1}{x^{2}}, -x^{2} e -\frac{1}{3}.
  • Devemos fornecer uma antiderivada (primitiva) e checar que a derivada dessa primitiva retorna a integranda.
  • Observação importante: o termo \frac{1}{x^{2}} só está definido para x\neq0, logo a primitiva será válida em intervalos onde x não muda de sinal (por exemplo x>0 ou x<0).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • A integral é linear, ou seja para funções f e g e constantes a,b vale
\int (a f(x)+ b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto nos permite integrar termo a termo.
  • A regra da potência para integrais: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número real que indica a potência de x, x^{n} é a função que estamos integrando, e C é a constante arbitrária de integração.
Exemplo simples: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 3

Tratar o primeiro termo \frac{1}{x^{2}}. Reescrevemos como potência:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Aplicando a regra da potência com n=-2,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x}+C.
Então a primitiva do primeiro termo é -\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Tratar o segundo termo -x^{2}. Usamos a linearidade (constante fatorada para fora) e a regra da potência:
\int (-x^{2})\,dx = -\int x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + C.
Portanto a primitiva do segundo termo é -\dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Tratar o terceiro termo -\dfrac{1}{3}. É uma constante multiplicada por 1, então
\int \left(-\frac{1}{3}\right)\,dx = -\frac{1}{3}\int 1\,dx = -\frac{1}{3}x + C = -\frac{x}{3}+C.
Assim a primitiva do terceiro termo é -\dfrac{x}{3}.

Passo 6

Somando as primitivas dos três termos (e reunindo numa única constante de integração C), obtemos uma antiderivada da integranda:
F(x) = -\frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3} + C.
Opcionalmente podemos escrever de forma factorizada:
F(x) = -\frac{1}{x} - \frac{x^{3}+x}{3} + C.

Passo 7

Observação sobre domínio (útil na prova): como a primitiva contém -\dfrac{1}{x}, F só é válida em intervalos onde x\neq0. Em exames, se pedirem primitiva em \mathbb{R}\setminus\{0\}, deixe claro que as primitivas valem separadamente em x>0 e x<0.

Passo 8

Verificação diferenciando (passo a passo da derivada de F):
  • Derivada de -\dfrac{1}{x}. Escrevendo como -x^{-1}, pela regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}.
  • Derivada de -\dfrac{x^{3}}{3}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^{3}}{3}\right) = -\frac{3x^{2}}{3} = -x^{2}.
  • Derivada de -\dfrac{x}{3}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{3}\right) = -\frac{1}{3}.
Somando as três derivadas:
F'(x)=\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3},
que coincide exatamente com a integranda. Portanto a verificação está correta.

Passo 9

Resumo motivador: fizemos a integral termo a termo usando a linearidade e a regra da potência; verificamos por diferenciação que a primitiva está correta. Dá para fazer isso na prova rapidinho — mantenha a ordem: reescrever potências, aplicar a fórmula, somar e checar derivando.

Resposta

-\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x}{3}+C

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