Calcule as integrais nos exercícios. Verifique suas resposta diferenciando.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e depois verificar a resposta diferenciando. Informações dadas:
e depois verificar a resposta diferenciando. Informações dadas:
- A integranda é composta por três termos:
, e . - Devemos fornecer uma antiderivada (primitiva) e checar que a derivada dessa primitiva retorna a integranda.
- Observação importante: o termo
só está definido para , logo a primitiva será válida em intervalos onde não muda de sinal (por exemplo ou ).
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- A integral é linear, ou seja para funções
e e constantes vale
Isto nos permite integrar termo a termo.
- A regra da potência para integrais: para
,
Aqui
é um número real que indica a potência de
,
é a função que estamos integrando, e
é a constante arbitrária de integração.
Exemplo simples: .
Exemplo simples:
Passo 3
Tratar o primeiro termo
. Reescrevemos como potência:
Aplicando a regra da potência com
,
Então a primitiva do primeiro termo é
.
Passo 4
Tratar o segundo termo
. Usamos a linearidade (constante fatorada para fora) e a regra da potência:
Portanto a primitiva do segundo termo é
.
Passo 5
Tratar o terceiro termo
. É uma constante multiplicada por
, então
Assim a primitiva do terceiro termo é
.
Passo 6
Somando as primitivas dos três termos (e reunindo numa única constante de integração
), obtemos uma antiderivada da integranda:
Opcionalmente podemos escrever de forma factorizada:
Passo 7
Observação sobre domínio (útil na prova): como a primitiva contém
,
só é válida em intervalos onde
. Em exames, se pedirem primitiva em
, deixe claro que as primitivas valem separadamente em
e
.
Passo 8
Verificação diferenciando (passo a passo da derivada de
):
- Derivada de
. Escrevendo como , pela regra da potência ,
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando as três derivadas:
que coincide exatamente com a integranda. Portanto a verificação está correta.
Passo 9
Resumo motivador: fizemos a integral termo a termo usando a linearidade e a regra da potência; verificamos por diferenciação que a primitiva está correta. Dá para fazer isso na prova rapidinho — mantenha a ordem: reescrever potências, aplicar a fórmula, somar e checar derivando.