Resolva a seguinte equaçäo diferencial empregando série de poténcias?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Não foram dadas condições iniciais, então queremos a solução geral em torno de
. As informações úteis são apenas a equação acima e o pedido explícito de empregar série de potências.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências (desenvolvimento de Maclaurin):
Agora calculamos as derivadas termo a termo (isso é permitido dentro do raio de convergência):
Passo 3
Substituímos
e
na equação diferencial:
O segundo somatório multiplica por
, então
onde na última igualdade fizemos a mudança de índice
. Assim a equação fica
Passo 4
Agora igualamos coeficientes para cada potência
. Para
(termo independente) vem
Para
temos a relação
ou seja a recorrência
Passo 5
Observe que a recorrência conecta índices com diferença 2. Assim os coeficientes pares e ímpares se comportam separadamente. Já temos
. Usando a recorrência por indução obtemos que todos os coeficientes pares de ordem maior que zero são nulos:
Logo, para
,
Restam
(constante) e os coeficientes ímpares
determinados por
.
Passo 6
Para os coeficientes ímpares definimos
(com
). A recorrência para
dá
ou seja
Calculando alguns termos vemos o padrão:
Proponho a forma fechada (que pode ser provada por indução):
Uma verificação rápida da razão
confirma que essa fórmula satisfaz a recorrência:
Passo 7
Portanto a solução em série (Maclaurin) fica
Aqui
e
são as constantes arbitrárias que aparecem para a solução geral de segunda ordem.
Passo 8
Podemos reconhecer a soma como a primitiva da série de
. De fato
e integrando termo a termo obtemos
Assim a solução pode ser escrita também em forma fechada usando a função erro:
com constantes
adequadas (ou seja
e
até fatores de normalização).