Calcule as integrais fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: calcular a integral
. Isso envolve técnicas de integração, especificamente a substituição por partes, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Para resolver isso, vamos escolher um u que torne a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher qual parte da integral vamos substituir por u. Olhando para a expressão
, a parte dentro da raiz,
, parece uma boa candidata porque sua derivada, que é
, é simples e aparece facilmente ao derivarmos.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a t, que é
, para substituir
na integral. Derivando
:
Isso nos mostra que
.
Passo 4
Precisamos também expressar
em termos de u para substituir na integral. Como
, podemos rearranjar para encontrar:
Passo 5
Agora, substituímos todas as partes da integral original em termos de u:
Originalmente temos:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão
antes de integrar. Primeiro, expandimos
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar cada termo dentro dos parênteses por
:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência da integração, que diz que
, onde
é a constante de integração.
Integrando cada termo:
Passo 9
Juntando todos os resultados:
Passo 10
Por fim, lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original t:
Resposta
A integral
é igual a: