Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada:
integral t^2 raiz1+t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: calcular a integral integral t^2 raiz1+t , dt. Isso envolve técnicas de integração, especificamente a substituição por partes, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Para resolver isso, vamos escolher um u que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher qual parte da integral vamos substituir por u. Olhando para a expressão t^2 raiz1+t, a parte dentro da raiz, 1+t, parece uma boa candidata porque sua derivada, que é 1, é simples e aparece facilmente ao derivarmos.
Então, vamos definir:
u = 1 + t

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a t, que é du/dt, para substituir dt na integral. Derivando u = 1 + t:
dudt = 1 Rightarrow du = dt
Isso nos mostra que dt = du.

Passo 4

Precisamos também expressar t em termos de u para substituir na integral. Como u = 1 + t, podemos rearranjar para encontrar:
t = u - 1

Passo 5

Agora, substituímos todas as partes da integral original em termos de u:
Originalmente temos:
integral t^2 raiz1+t , dt
Substituindo t = u - 1 e dt = du:
integral (u - 1)^2 raizu , du

Passo 6

Vamos simplificar a expressão (u - 1)^2 raizu antes de integrar. Primeiro, expandimos (u - 1)^2:
(u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
Então, temos:
integral (u^2 - 2u + 1) raizu , du

Passo 7

Agora, vamos multiplicar cada termo dentro dos parênteses por raizu:
integral ( u^2 cdot u^1/2 - 2u cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2 ) du
= integral ( u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 ) du

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência da integração, que diz que integral u^n du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Integrando cada termo:
integral u^5/2 du = u^7/27/2 = 27 u^7/2
integral -2u^3/2 du = -2 cdot u^5/25/2 = -45 u^5/2
integral u^1/2 du = u^3/23/2 = 23 u^3/2

Passo 9

Juntando todos os resultados:
27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 + C

Passo 10

Por fim, lembrando que fizemos a substituição u = 1 + t, vamos voltar para a variável original t:
27 (1 + t)^7/2 - 45 (1 + t)^5/2 + 23 (1 + t)^3/2 + C

Resposta

A integral integral t^2 raiz1+t , dt é igual a:
27 (1 + t)^7/2 - 45 (1 + t)^5/2 + 23 (1 + t)^3/2 + C

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