Considere a seguinte superfície paramétrica:
S: r(phi, theta)=((2+cos phi) cos theta, 2 sen phi,(2+cos phi) sen theta), phi, theta in[0,2 pi]
Esboce e descreva a superfície S, indicando pelo menos as quatro curvas coordenadas phi=0, phi=pi / 2, theta=0, theta=pi / 2;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície paramétrica
vec r(phi,theta)=l((2+cosphi)costheta,;2sinphi,;(2+cosphi)sinthetar), phi,thetain[0,2pi]
O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies de revolução (toro) com seção elíptica.

Passo 2

Reconhecendo o tipo de superfície: a forma geral de um toro é
vec r(phi,theta)=l((R+rcosphi)costheta,;rsinphi,;(R+rcosphi)sinthetar)
Comparando, vemos R=2 e a seção transversal (quando giramos em theta) é uma elipse de semi-eixos r1=1 (na direção radial horizontal) e r2=2 (na direção vertical).

Passo 3

Curvas para phi=0 e phi=pi/2:
Para phi=0, temos
vec r(0,theta)=(3costheta,0,3sintheta),
um círculo de raio 3 no plano y=0.
Para phi=tfracpi2, temos
vec rl(tfracpi2,thetar)=(2costheta,2,2sintheta),
um círculo de raio 2 no plano y=2.

Passo 4

Curvas para theta=0 e theta=pi/2:
Para theta=0,
vec r(phi,0)=(2+cosphi,2sinphi,0),
o que no plano z=0 é a elipse centrada em (x-2)^2+y^24=1 com equação
theta=tfracpi2
Para vec rl(phi,tfracpi2r)=(0,2sinphi,2+cosphi), ,
x=0
o que no plano (0,2) é a elipse centrada em (z-2)^2+y^24=1 com equação

Passo 5

Descrição qualitativa da superfície: trata-se de um toro (anel) obtido ao girar em torno do eixo y a elipse
(x-2)^2+y^24=1
no plano z=0. O raio maior do anel é 2, e a seção tubular é uma elipse de semi-eixos 1 e 2.

Passo 6

Esboço sugerido: desenhe primeiro a elipse (x-2)^2+y^2/4=1 no plano z=0, depois imagine essa elipse girando 360° em torno do eixo y. Marque as curvas coordenadas já encontradas para visualizar o toro elíptico.

Resposta

A superfície é um toro (anel) de revolução da elipse (x-2)^2+tfracy^24=1 em torno do eixo y. As quatro curvas coordenadas são:
phi=0: círculo de raio 3 no plano y=0, (3costheta,0,3sintheta).
phi=tfracpi2: círculo de raio 2 no plano y=2, (2costheta,2,2sintheta).
theta=0: elipse no plano z=0 dada por (x-2)^2+y^2/4=1.
theta=tfracpi2: elipse no plano x=0 dada por (z-2)^2+y^2/4=1.

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