Considere a seguinte superfície paramétrica:
Esboce e descreva a superfície
, indicando pelo menos as quatro curvas coordenadas
;
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície paramétrica
O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies de revolução (toro) com seção elíptica.
Passo 2
Reconhecendo o tipo de superfície: a forma geral de um toro é
Comparando, vemos
e a seção transversal (quando giramos em
) é uma elipse de semi-eixos
(na direção radial horizontal) e
(na direção vertical).
Passo 3
Curvas para
e
:
Para , temos
Para
um círculo de raio 3 no plano
.
Para , temos
Para
um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 4
Curvas para
e
:
Para ,
Para
o que no plano
é a elipse centrada em
com equação
Para
,
o que no plano
é a elipse centrada em
com equação
Passo 5
Descrição qualitativa da superfície: trata-se de um toro (anel) obtido ao girar em torno do eixo
a elipse
no plano
. O raio maior do anel é 2, e a seção tubular é uma elipse de semi-eixos 1 e 2.
Passo 6
Esboço sugerido: desenhe primeiro a elipse
no plano
, depois imagine essa elipse girando 360° em torno do eixo
. Marque as curvas coordenadas já encontradas para visualizar o toro elíptico.
Resposta
A superfície é um toro (anel) de revolução da elipse
em torno do eixo
. As quatro curvas coordenadas são:
– : círculo de raio 3 no plano
,
.
– : círculo de raio 2 no plano
,
.
– : elipse no plano
dada por
.
– : elipse no plano
dada por
.
–
–
–
–