Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada:
integral0^pi e^x cos (2 e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de 0 até π de $ e^{x} \cos(2 e^{x}) , dx $. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral trocando variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição $ u $ que torne a integral mais fácil de resolver. Observando o integrando $ e^{x} \cos(2 e^{x}) $, percebemos que a função dentro do cosseno, $ 2 e^{x} $, é uma boa candidata para $ u $. Então, vamos definir:
u

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Diferenciando $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 4

Substituímos $ u $ e $ dx $ na integral original:
u
Note que os $ e^{x} $ se cancelaram, deixando a integral bem mais simples.

Passo 5

Agora, é só calcular a integral de $ \cos(u) $ em relação a $ u $. A antiderivada de $ \cos(u) $ é $ \sin(u) $, então temos:
cos(u)
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Vamos substituir os limites na antiderivada:
  • Quando $ x = 0 $:
    x = 0
  • Quando $ x = \pi $:
    u = 2 e^0 = 2
Então, a integral fica:
x = pi

Resposta

A integral vale dfrac12 ( sin(2 e^pi) - sin(2) ).

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