Calcule as integrais fazendo a substituição
apropriada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de 0 até π de $ e^{x} \cos(2 e^{x}) , dx $. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral trocando variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição $ u $ que torne a integral mais fácil de resolver. Observando o integrando $ e^{x} \cos(2 e^{x}) $, percebemos que a função dentro do cosseno, $ 2 e^{x} $, é uma boa candidata para $ u $. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Diferenciando $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Substituímos $ u $ e $ dx $ na integral original:
Note que os $ e^{x} $ se cancelaram, deixando a integral bem mais simples.
Passo 5
Agora, é só calcular a integral de $ \cos(u) $ em relação a $ u $. A antiderivada de $ \cos(u) $ é $ \sin(u) $, então temos:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.
Passo 6
Vamos substituir os limites na antiderivada:
-
Quando $ x = 0 $:
-
Quando $ x = \pi $:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral vale
.