Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral abaixo usando uma substituição
apropriada:
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando a integranda tem a forma
, dá para simplificar fazendo
. Isso funciona porque a diferenciação composta (regra da cadeia) diz que
Portanto, ao integrar, estamos invertendo a regra da cadeia: se vemos uma parte que é derivada da outra, podemos trocar de variável e ficar com uma integral mais simples. Aqui é natural identificar a função interna
como
, porque aparece dentro de
e sua derivada é exatamente
, que multiplica o termo.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
Escolhemos
Escolhemos
Calculemos
:
Ou seja, podemos substituir
por
. Então a integral se transforma em
Passo 4
Integrar
:
Lembrando uma derivada importante: a derivada da função tangente é
Lembrando uma derivada importante: a derivada da função tangente é
Isso significa que uma primitiva de
é
. Então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
(retro-substituição):
Como , substituímos de volta:
Como
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado obtém-se
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.