Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada:
\int \operatorname{sec} ^{2}\left(e^{x}\right) \cdot e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral abaixo usando uma substituição u apropriada:
\int \operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando a integranda tem a forma f(g(x))\cdot g'(x), dá para simplificar fazendo u=g(x). Isso funciona porque a diferenciação composta (regra da cadeia) diz que
\frac{d}{dx}F\big(g(x)\big)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Portanto, ao integrar, estamos invertendo a regra da cadeia: se vemos uma parte que é derivada da outra, podemos trocar de variável e ficar com uma integral mais simples. Aqui é natural identificar a função interna g(x) como e^{x}, porque aparece dentro de \operatorname{sec}^{2}(\cdot) e sua derivada é exatamente e^{x}, que multiplica o termo.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
Escolhemos
u = e^{x}.
Calculemos du:
du = \frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)\,dx = e^{x}\,dx.
Ou seja, podemos substituir e^{x}\,dx por du. Então a integral se transforma em
\int \operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 4

Integrar \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du:
Lembrando uma derivada importante: a derivada da função tangente é
\frac{d}{du}\big(\tan u\big)=\operatorname{sec}^{2}u.
Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u. Então
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x (retro-substituição):
Como u = e^{x}, substituímos de volta:
\tan u + C = \tan\big(e^{x}\big) + C.
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado obtém-se
\frac{d}{dx}\big(\tan(e^{x})\big)=\operatorname{sec}^{2}\big(e^{x}\big)\cdot e^{x},
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.

Resposta

\tan\big(e^{x}\big)+C

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